Determine as coordenadas do centro, vértices e focos das elipses: 4 x^{2}-8 x+9 y^{2}-36 y+4=0 e 16 y^{2}+64 y+x^{2}-4 x+52=0.

Passo 1

O enunciado pede: determinar as coordenadas do centro, dos vértices e dos focos de duas elipses fornecidas pelas equações. As equações dadas são:
  • Elipse 1: 4x^{2}-8x+9y^{2}-36y+4=0.
  • Elipse 2: 16y^{2}+64y+x^{2}-4x+52=0.
Informações relevantes extraídas das equações (vou usá-las para completar quadrados e colocar cada elipse na forma canônica):
  • termos quadráticos e lineares em x e y estão presentes; não há termo misto xy em nenhuma das equações; isso indica que os eixos principais da elipse são paralelos aos eixos coordenados.
  • Será preciso completar o quadrado em x e em y para obter a forma padrão \dfrac{(x-h)^{2}}{a^{2}}+\dfrac{(y-k)^{2}}{b^{2}}=1 (ou com a e b trocados se o eixo maior for vertical).

Passo 2

Vou resolver a Elipse 1 passo a passo: começar agrupando termos em x e em y e completar o quadrado.
Escrever:
4x^{2}-8x+9y^{2}-36y+4=0.
Agrupando:
4\bigl(x^{2}-2x\bigr)+9\bigl(y^{2}-4y\bigr)+4=0.
Agora completo o quadrado em cada parêntese. Lembre que para completar o quadrado em x^{2}-2x adiciona-se e subtrai-se 1 (porque (x-1)^{2}=x^{2}-2x+1); para y^{2}-4y adiciona-se e subtrai-se 4 (porque (y-2)^{2}=y^{2}-4y+4). Faço isso multiplicado pelos coeficientes externos:
4\bigl((x-1)^{2}-1\bigr)+9\bigl((y-2)^{2}-4\bigr)+4=0.
Distribuo os constantes:
4(x-1)^{2}-4+9(y-2)^{2}-36+4=0.
Somando as constantes:
4(x-1)^{2}+9(y-2)^{2}-36=0.
Isolando os quadrados:
4(x-1)^{2}+9(y-2)^{2}=36.

Passo 3

Coloco na forma padrão dividindo por 36:
\frac{(x-1)^{2}}{9}+\frac{(y-2)^{2}}{4}=1.
Interpretação dos parâmetros nessa forma padrão:
  • O centro é (h,k)=(1,2).
  • Os denominadores são a^{2}=9 (no termo de x) e b^{2}=4 (no termo de y). Como a^{2}>b^{2}, a=\sqrt{9}=3 é o semi-eixo maior e está na direção x-horizontal; b=\sqrt{4}=2 é o semi-eixo menor (direção y-vertical).
    Explicação leve: na forma \dfrac{(x-h)^{2}}{a^{2}}+\dfrac{(y-k)^{2}}{b^{2}}=1, a e b medem quanto a elipse se estende a partir do centro ao longo dos eixos principais.

Passo 4

Cálculo dos vértices e co-vértices da Elipse 1:
  • Vértices (extremos do eixo maior, aqui horizontal): \bigl(h\pm a,\;k\bigr). Substituindo: \bigl(1\pm 3,\;2\bigr), ou seja \bigl(4,2\bigr) e \bigl(-2,2\bigr).
  • Co-vértices (extremos do eixo menor, aqui vertical): \bigl(h,\;k\pm b\bigr). Substituindo: \bigl(1,\;2\pm 2\bigr), ou seja \bigl(1,4\bigr) e \bigl(1,0\bigr).

Passo 5

Cálculo dos focos da Elipse 1:
Para elipse com eixo maior horizontal usa-se a relação
c^{2}=a^{2}-b^{2},
onde c é a distância do centro a cada foco. Aqui
c^{2}=9-4=5,\qquad c=\sqrt{5}.
Os focos ficam em \bigl(h\pm c,\;k\bigr)=\bigl(1\pm\sqrt{5},\;2\bigr). Ou seja \bigl(1+\sqrt{5},2\bigr) e \bigl(1-\sqrt{5},2\bigr).
Breve justificativa da fórmula: a equação da elipse impõe que a soma das distâncias a dois pontos fixos (focos) seja constante; a relação c^{2}=a^{2}-b^{2} resulta da álgebra ao colocar os focos ao longo do eixo maior e usar a forma canônica.

Passo 6

Agora resolvo a Elipse 2: começo agrupando em x e y e completo quadrados.
Escrever:
16y^{2}+64y+x^{2}-4x+52=0.
Agrupando (colocando termos x e y juntos):
x^{2}-4x+16\bigl(y^{2}+4y\bigr)+52=0.
Completo o quadrado: (x-2)^{2}=x^{2}-4x+4, então x^{2}-4x=(x-2)^{2}-4. Para y^{2}+4y, (y+2)^{2}=y^{2}+4y+4, então y^{2}+4y=(y+2)^{2}-4. Substituo:
(x-2)^{2}-4+16\bigl((y+2)^{2}-4\bigr)+52=0.
Distribuo as constantes:
(x-2)^{2}-4+16(y+2)^{2}-64+52=0.
Somando as constantes:
(x-2)^{2}+16(y+2)^{2}-16=0.
Isolando os quadrados:
(x-2)^{2}+16(y+2)^{2}=16.

Passo 7

Coloco na forma padrão dividindo por 16:
\frac{(x-2)^{2}}{16}+\frac{(y+2)^{2}}{1}=1.
Interpretação:
  • Centro (h,k)=(2,-2).
  • Denominadores: a^{2}=16 (no termo de x) e b^{2}=1 (no termo de y). Como a^{2}>b^{2}, a=\sqrt{16}=4 é o semi-eixo maior (horizontal) e b=\sqrt{1}=1 é o semi-eixo menor (vertical). Logo o eixo maior é novamente horizontal.

Passo 8

Cálculo dos vértices e co-vértices da Elipse 2:
  • Vértices (eixo maior horizontal): \bigl(h\pm a,\;k\bigr)=\bigl(2\pm 4,\;-2\bigr), ou seja \bigl(6,-2\bigr) e \bigl(-2,-2\bigr).
  • Co-vértices (eixo menor vertical): \bigl(h,\;k\pm b\bigr)=\bigl(2,\;-2\pm 1\bigr), ou seja \bigl(2,-1\bigr) e \bigl(2,-3\bigr).

Passo 9

Cálculo dos focos da Elipse 2:
Usando a mesma relação
c^{2}=a^{2}-b^{2},
aqui
c^{2}=16-1=15,\qquad c=\sqrt{15}.
Como o eixo maior é horizontal, os focos são \bigl(h\pm c,\;k\bigr)=\bigl(2\pm\sqrt{15},\;-2\bigr). Ou seja \bigl(2+\sqrt{15},-2\bigr) e \bigl(2-\sqrt{15},-2\bigr).

Resposta

Elipse 1: centro (1,2); vértices (4,2) e (-2,2); focos \bigl(1+\sqrt{5},2\bigr) e \bigl(1-\sqrt{5},2\bigr).
Elipse 2: centro (2,-2); vértices (6,-2) e (-2,-2); focos \bigl(2+\sqrt{15},-2\bigr) e \bigl(2-\sqrt{15},-2\bigr).

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