Determine as coordenadas do centro, vértices e focos das elipses:
e
.
Passo 1
O enunciado pede: determinar as coordenadas do centro, dos vértices e dos focos de duas elipses fornecidas pelas equações. As equações dadas são:
- Elipse 1:
. - Elipse 2:
.
Informações relevantes extraídas das equações (vou usá-las para completar quadrados e colocar cada elipse na forma canônica):
- termos quadráticos e lineares em
e estão presentes; não há termo misto em nenhuma das equações; isso indica que os eixos principais da elipse são paralelos aos eixos coordenados. - Será preciso completar o quadrado em
e em para obter a forma padrão (ou com e trocados se o eixo maior for vertical).
Passo 2
Vou resolver a Elipse 1 passo a passo: começar agrupando termos em
e em
e completar o quadrado.
Escrever:
Escrever:
Agrupando:
Agora completo o quadrado em cada parêntese. Lembre que para completar o quadrado em
adiciona-se e subtrai-se
(porque
); para
adiciona-se e subtrai-se
(porque
). Faço isso multiplicado pelos coeficientes externos:
Distribuo os constantes:
Somando as constantes:
Isolando os quadrados:
Passo 3
Coloco na forma padrão dividindo por
:
Interpretação dos parâmetros nessa forma padrão:
- O centro é
. - Os denominadores são
(no termo de ) e (no termo de ). Como , é o semi-eixo maior e está na direção -horizontal; é o semi-eixo menor (direção -vertical).
Explicação leve: na forma, e medem quanto a elipse se estende a partir do centro ao longo dos eixos principais.
Passo 4
Cálculo dos vértices e co-vértices da Elipse 1:
- Vértices (extremos do eixo maior, aqui horizontal):
. Substituindo: , ou seja e . - Co-vértices (extremos do eixo menor, aqui vertical):
. Substituindo: , ou seja e .
Passo 5
Cálculo dos focos da Elipse 1:
Para elipse com eixo maior horizontal usa-se a relação
Para elipse com eixo maior horizontal usa-se a relação
onde
é a distância do centro a cada foco. Aqui
Os focos ficam em
. Ou seja
e
.
Breve justificativa da fórmula: a equação da elipse impõe que a soma das distâncias a dois pontos fixos (focos) seja constante; a relação resulta da álgebra ao colocar os focos ao longo do eixo maior e usar a forma canônica.
Breve justificativa da fórmula: a equação da elipse impõe que a soma das distâncias a dois pontos fixos (focos) seja constante; a relação
Passo 6
Agora resolvo a Elipse 2: começo agrupando em
e
e completo quadrados.
Escrever:
Escrever:
Agrupando (colocando termos
e
juntos):
Completo o quadrado:
, então
. Para
,
, então
. Substituo:
Distribuo as constantes:
Somando as constantes:
Isolando os quadrados:
Passo 7
Coloco na forma padrão dividindo por
:
Interpretação:
- Centro
. - Denominadores:
(no termo de ) e (no termo de ). Como , é o semi-eixo maior (horizontal) e é o semi-eixo menor (vertical). Logo o eixo maior é novamente horizontal.
Passo 8
Cálculo dos vértices e co-vértices da Elipse 2:
- Vértices (eixo maior horizontal):
, ou seja e . - Co-vértices (eixo menor vertical):
, ou seja e .
Passo 9
Cálculo dos focos da Elipse 2:
Usando a mesma relação
Usando a mesma relação
aqui
Como o eixo maior é horizontal, os focos são
. Ou seja
e
.
Resposta
Elipse 1: centro
; vértices
e
; focos
e
.
Elipse 2: centro
; vértices
e
; focos
e
.