1. Resolva as equações matriciais:
    а) \left(\begin{array}{cc}2 & 1 \\\\ 1 & -3\end{array}\right) \cdot\binom{x}{y}=\binom{9}{-13}
Resp: \binom{2}{5}
b) \left(\begin{array}{ccc}1 & 4 & 7 \\\\ 2 & 3 & 6 \\\\ 5 & 1 & -1\end{array}\right) \cdot\left(\begin{array}{l}x \\\ y \\\ z\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}2 \\\\ 2 \\\\ 8\end{array}\right)
Resp: \left(\begin{array}{c}1 \\\\ 2 \\\\ -1\end{array}\right)

Passo 1

O enunciado pede para resolver duas equações matriciais (ou seja, dois sistemas lineares) e dá os coeficientes e os termos independentes. As informações dadas são:
a) Matriz 2\times2 e vetor incógnita \binom{x}{y}:
\left(\begin{array}{cc}2 & 1 \\[4pt] 1 & -3\end{array}\right)\cdot\binom{x}{y}=\binom{9}{-13}
b) Matriz 3\times3 e vetor incógnita \left(\begin{array}{c}x\\[2pt]y\\[2pt]z\end{array}\right):
\left(\begin{array}{ccc}1 & 4 & 7 \\[4pt] 2 & 3 & 6 \\[4pt] 5 & 1 & -1\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{c}x\\[2pt]y\\[2pt]z\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}2\\[2pt]2\\[2pt]8\end{array}\right)
O que precisamos encontrar em cada caso é o vetor incógnita que satisfaz a igualdade matricial (ou seja, os valores de x,y no item a) e de x,y,z no item b)).]

Passo 2

Método que vamos usar (aula rápida, sem medo): transformamos cada sistema na sua matriz aumentada e aplicamos operações elementares por linha (trocar linhas, multiplicar uma linha por escalar não nulo, somar a uma linha um múltiplo de outra). Essas operações preservam o conjunto de soluções e servem para levar a matriz a uma forma triangular, de onde obtemos as incógnitas por substituição (back-substitution). Lembre-se: toda conta será mostrada, passo a passo — tipo papo de amigo explicando.

Passo 3

Resolvendo o item (a). Primeiro escrevemos a matriz aumentada (colocando a coluna dos termos à direita, com uma barra vertical para separar):
\left[\begin{array}{cc|c} 2 & 1 & 9\\[4pt] 1 & -3 & -13 \end{array}\right]
Queremos eliminar um dos elementos abaixo do pivô para obter triangular superior.]

Passo 4

Para simplificar, trocamos as linhas para que o pivô superior seja 1 (evita fração imediata). Realizamos R_1 \leftrightarrow R_2:
\left[\begin{array}{cc|c} 1 & -3 & -13\\[4pt] 2 & 1 & 9 \end{array}\right]
Agora eliminamos o 2 em posição (2,1) fazendo R_2 \leftarrow R_2 - 2R_1. Calculemos cada entrada de R_2:
  • primeira coluna: 2 - 2\cdot 1 = 0,
  • segunda coluna: 1 - 2\cdot(-3) = 1 + 6 = 7,
  • termo independente: 9 - 2\cdot(-13) = 9 + 26 = 35.
Fica:
\left[\begin{array}{cc|c} 1 & -3 & -13\\[4pt] 0 & 7 & 35 \end{array}\right]]

Passo 5

Agora temos um sistema triangular. A segunda linha corresponde a \,7y = 35. Então
y = \frac{35}{7} = 5.
Substituímos em R_1, que corresponde a \,x - 3y = -13. Substituindo y=5:
x - 3\cdot 5 = -13 \quad\Rightarrow\quad x - 15 = -13 \quad\Rightarrow\quad x = 2.
Assim, as incógnitas encontradas pelo método de eliminação são \,x=2 e \,y=5.

Passo 6

Agora o item (b). Começamos pela matriz aumentada:
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 4 & 7 & 2\\[4pt] 2 & 3 & 6 & 2\\[4pt] 5 & 1 & -1 & 8 \end{array}\right]
O pivô natural na primeira coluna é 1 (boa!), então vamos eliminar os elementos abaixo dele.]

Passo 7

Eliminações na coluna 1:
  • Fazer R_2 \leftarrow R_2 - 2R_1:
    Calculemos R_2:
    • primeira coluna: 2 - 2\cdot 1 = 0,
    • segunda: 3 - 2\cdot 4 = 3 - 8 = -5,
    • terceira: 6 - 2\cdot 7 = 6 - 14 = -8,
    • termo independente: 2 - 2\cdot 2 = 2 - 4 = -2.
      Então R_2 = [0\; -5\; -8\;|\; -2].
  • Fazer R_3 \leftarrow R_3 - 5R_1:
    Calculemos R_3:
    • primeira coluna: 5 - 5\cdot 1 = 0,
    • segunda: 1 - 5\cdot 4 = 1 - 20 = -19,
    • terceira: -1 - 5\cdot 7 = -1 - 35 = -36,
    • termo independente: 8 - 5\cdot 2 = 8 - 10 = -2.
      Então R_3 = [0\; -19\; -36\;|\; -2].
A matriz aumentada passa a ser:
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 4 & 7 & 2\\[4pt] 0 & -5 & -8 & -2\\[4pt] 0 & -19 & -36 & -2 \end{array}\right]]

Passo 8

Agora lidamos com a segunda coluna (pivô é -5 em R_2). Queremos zerar o -19 em R_3. O fator para eliminar é f=\dfrac{-19}{-5}=\dfrac{19}{5}. Aplicamos R_3 \leftarrow R_3 - f R_2. Façamos as contas componente a componente (expondo frações):
  • Segunda coluna: -19 - \dfrac{19}{5}\cdot(-5) = -19 + 19 = 0 (confirma que zera).
  • Terceira coluna: -36 - \dfrac{19}{5}\cdot(-8) = -36 + \dfrac{152}{5}.
    Escrevendo -36 = -\dfrac{180}{5}, obtemos -\dfrac{180}{5} + \dfrac{152}{5} = -\dfrac{28}{5}.
  • Termo independente: -2 - \dfrac{19}{5}\cdot(-2) = -2 + \dfrac{38}{5}.
    Escrevendo -2 = -\dfrac{10}{5}, obtemos -\dfrac{10}{5} + \dfrac{38}{5} = \dfrac{28}{5}.
Portanto a nova R_3 é [0\;0\; -\dfrac{28}{5}\;|\; \dfrac{28}{5}]. A matriz aumentada fica:
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 4 & 7 & 2\\[4pt] 0 & -5 & -8 & -2\\[4pt] 0 & 0 & -\dfrac{28}{5} & \dfrac{28}{5} \end{array}\right]]

Passo 9

A terceira linha agora dá uma equação simples para z:
-\dfrac{28}{5}\,z = \dfrac{28}{5}.
Dividindo ambos os lados por -\dfrac{28}{5} (ou multiplicando por -\dfrac{5}{28}) obtemos:
z = -1.

Passo 10

Agora substituímos z=-1 na segunda linha para encontrar y. A segunda linha é -5y -8z = -2. Substituindo:
-5y -8\cdot(-1) = -2 \quad\Rightarrow\quad -5y +8 = -2 \quad\Rightarrow\quad -5y = -10 \quad\Rightarrow\quad y = 2.
Por fim, substituímos y=2 e z=-1 na primeira linha x + 4y + 7z = 2:
x + 4\cdot 2 + 7\cdot(-1) = 2 \quad\Rightarrow\quad x + 8 -7 = 2 \quad\Rightarrow\quad x +1 = 2 \quad\Rightarrow\quad x = 1.

Resposta

\binom{2}{5}
\left(\begin{array}{c}1 \\[2pt] 2 \\[2pt] -1\end{array}\right)]

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