Verifique se as transformações abaixo são lineares.
T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}, T(x, y, z)=(y+5 x-z+1), onde (x, y, z) \in \mathbb{R}^{3}
T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}, T(x, y, z)=(y+5 x-z+1), onde (x, y, z) \in \mathbb{R}^{3}
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a transformação linear
é de fato linear. As informações dadas são:
e a regra de associação é
para qualquer
.
Passo 2
Definição (explicada devagar): uma transformação
é linear se, para quaisquer vetores
e qualquer escalar
, valem as duas propriedades:
e
Aqui
é a soma componente a componente e
é a multiplicação escalar componente a componente. Essas duas propriedades significam que
preserva soma e multiplicação por escalares.
Passo 3
Propriedade útil e simples para testar linearidade: toda transformação linear precisa mandar o vetor nulo em zero, isto é,
Por que isso é verdade? Pegue qualquer vetor
. Pela propriedade de homogeneidade,
Como
e
, obtemos
. Portanto, se ao calcularmos
encontrarmos algo diferente de
, podemos concluir imediatamente que
não é linear.
Passo 4
Calcule
usando a regra dada:
logo
Como
, isso viola a condição necessária para linearidade. Portanto
não é linear.
Passo 5
Mostro também um contraexemplo direto à aditividade (só para consolidar a intuição): escolha
Então
portanto
Agora
e
Como
, a propriedade
falha — mais uma confirmação de que
não é linear.
Passo 6
Interpretação final e dica prática para prova: a presença do termo constante
desloca os valores e faz de
uma transformação afim (uma transformação linear seguida de uma translação), não uma transformação linear pura. Em provas, o atalho rápido é calcular
; se não der
, já sabe que não é linear — economiza tempo e pânico.
Resposta
Não.
não é linear.