Verifique se as transformações abaixo são lineares.
T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}, T(x, y, z)=(y+5 x-z+1), onde (x, y, z) \in \mathbb{R}^{3}

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a transformação linear
T:\mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R},\qquad T(x,y,z)=y+5x-z+1
é de fato linear. As informações dadas são:
\text{domínio: }\mathbb{R}^{3},\quad\text{contradomínio: }\mathbb{R},íí
e a regra de associação é T(x,y,z)=y+5x-z+1 para qualquer (x,y,z)\in\mathbb{R}^{3}.

Passo 2

Definição (explicada devagar): uma transformação T é linear se, para quaisquer vetores u,v\in\mathbb{R}^{3} e qualquer escalar c\in\mathbb{R}, valem as duas propriedades:
T(u+v)=T(u)+T(v)
e
T(c\,u)=c\,T(u).
Aqui u+v é a soma componente a componente e c\,u é a multiplicação escalar componente a componente. Essas duas propriedades significam que T preserva soma e multiplicação por escalares.

Passo 3

Propriedade útil e simples para testar linearidade: toda transformação linear precisa mandar o vetor nulo em zero, isto é,
T(0,0,0)=0.
Por que isso é verdade? Pegue qualquer vetor v. Pela propriedade de homogeneidade,
T(0\cdot v)=0\cdot T(v).
Como 0\cdot v=(0,0,0) e 0\cdot T(v)=0, obtemos T(0,0,0)=0. Portanto, se ao calcularmos T(0,0,0) encontrarmos algo diferente de 0, podemos concluir imediatamente que T não é linear.

Passo 4

Calcule T(0,0,0) usando a regra dada:
T(0,0,0)=y+5x-z+1\quad\text{com }x=0,\\ y=0,\\ z=0,
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T(0,0,0)=0+5\cdot 0-0+1=1.
Como T(0,0,0)=1\neq 0, isso viola a condição necessária para linearidade. Portanto T não é linear.

Passo 5

Mostro também um contraexemplo direto à aditividade (só para consolidar a intuição): escolha
u=(1,0,0),\qquad v=(0,1,0).
Então
T(u)=T(1,0,0)=0+5\cdot 1-0+1=6,
T(v)=T(0,1,0)=1+5\cdot 0-0+1=2,
portanto
T(u)+T(v)=6+2=8.
Agora u+v=(1,1,0) e
T(u+v)=T(1,1,0)=1+5\cdot 1-0+1=7.
Como T(u+v)=7\neq 8=T(u)+T(v), a propriedade T(u+v)=T(u)+T(v) falha — mais uma confirmação de que T não é linear.

Passo 6

Interpretação final e dica prática para prova: a presença do termo constante +1 desloca os valores e faz de T uma transformação afim (uma transformação linear seguida de uma translação), não uma transformação linear pura. Em provas, o atalho rápido é calcular T(0,0,0); se não der 0, já sabe que não é linear — economiza tempo e pânico.

Resposta

Não. T não é linear.

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