Verifique se as transformações abaixo são lineares.
T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}, T(x, y, z)=(y+5 x-z), onde (x, y, z) \in \mathbb{R}^{3}.

Passo 1

O enunciado dá a transformação linear candidata T e pede para verificar se ela é linear. Informações fornecidas:
  • A transformação é T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}.
  • A fórmula é T(x,y,z) = (y + 5x - z), onde (x,y,z)\in\mathbb{R}^{3}.
    O que precisamos responder: determinar se T satisfaz as propriedades que definem uma transformação linear (ou seja, provar ou refutar linearidade).

Passo 2

Vamos lembrar a definição prática de linearidade (vamos devagar, passo a passo).
  • Seja u e v vetores em \mathbb{R}^{3} e c um escalar em \mathbb{R}.
  • Dizemos que T é linear se e somente se, para quaisquer u,v e qualquer c, valem as duas propriedades:
\text{(Aditividade)}\quad T(u+v)=T(u)+T(v)
\text{(Homogeneidade)}\quad T(c\,u)=c\,T(u)
Aqui u+v é a soma componente a componente e c\,u é a multiplicação escalar componente a componente. Vamos testar essas duas propriedades com componentes gerais.

Passo 3

Testando a aditividade. Seja
u=(x_1,y_1,z_1),\qquad v=(x_2,y_2,z_2),
com x_i,y_i,z_i\in\mathbb{R}. Então a soma é
u+v=(x_1+x_2,\;y_1+y_2,\;z_1+z_2).
Aplicando T em u+v:
T(u+v)=\bigl((y_1+y_2)+5(x_1+x_2)-(z_1+z_2)\bigr).
Agora distribuímos e reagrupamos termos (usando associatividade e comutatividade da adição e distributividade da multiplicação sobre a soma):
T(u+v)=\bigl(y_1+5x_1-z_1\bigr)+\bigl(y_2+5x_2-z_2\bigr).
Reconhecemos que cada par é exatamente T(u) e T(v):
T(u+v)=T(u)+T(v).
Portanto a propriedade da aditividade é satisfeita.

Passo 4

Testando a homogeneidade. Seja c\in\mathbb{R} e u=(x_1,y_1,z_1) como antes. O vetor c\,u é
c\,u=(c x_1,\; c y_1,\; c z_1).
Aplicando T a c\,u:
T(c\,u)=\bigl(c y_1 + 5(c x_1) - c z_1\bigr).
Fatorando c (propriedade distributiva):
T(c\,u)=c\bigl(y_1 + 5 x_1 - z_1\bigr).
E isso é exatamente c\,T(u):
T(c\,u)=c\,T(u).
Portanto a propriedade da homogeneidade também é satisfeita.

Passo 5

Como ambas as propriedades (aditividade e homogeneidade) foram verificadas para vetores genéricos, concluímos que T é linear. Para dar uma intuição extra (útil na prova): T pode ser vista como um produto interno com o vetor (5,1,-1). Ou seja, para v=(x,y,z),
T(v) = (5,1,-1)\cdot(x,y,z) = 5x + 1\cdot y + (-1)z.
Qualquer função do tipo “produto interno com um vetor fixo” é linear — essa é uma forma rápida de reconhecer linearidade. Um exemplo numérico rápido para checar: para u=(1,2,3) e v=(0,1,4),
T(u)=2+5\cdot1-3=4,\qquad T(v)=1+5\cdot0-4=-3,
T(u+v)=T((1,3,7))=3+5\cdot1-7=1=4+(-3)=T(u)+T(v),
confirmando na prática o que mostramos simbolicamente.

Resposta

Sim. T é linear.

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