Verifique se as transformações abaixo são lineares.
T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}, T(x, y, z)=(y+5 x-z), onde (x, y, z) \in \mathbb{R}^{3}.
T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}, T(x, y, z)=(y+5 x-z), onde (x, y, z) \in \mathbb{R}^{3}.
Passo 1
O enunciado dá a transformação linear candidata
e pede para verificar se ela é linear. Informações fornecidas:
- A transformação é
. - A fórmula é
, onde .
O que precisamos responder: determinar sesatisfaz as propriedades que definem uma transformação linear (ou seja, provar ou refutar linearidade).
Passo 2
Vamos lembrar a definição prática de linearidade (vamos devagar, passo a passo).
- Seja
e vetores em e um escalar em . - Dizemos que
é linear se e somente se, para quaisquer e qualquer , valem as duas propriedades:
Aqui
é a soma componente a componente e
é a multiplicação escalar componente a componente. Vamos testar essas duas propriedades com componentes gerais.
Passo 3
Testando a aditividade. Seja
com
. Então a soma é
Aplicando
em
:
Agora distribuímos e reagrupamos termos (usando associatividade e comutatividade da adição e distributividade da multiplicação sobre a soma):
Reconhecemos que cada par é exatamente
e
:
Portanto a propriedade da aditividade é satisfeita.
Passo 4
Testando a homogeneidade. Seja
e
como antes. O vetor
é
Aplicando
a
:
Fatorando
(propriedade distributiva):
E isso é exatamente
:
Portanto a propriedade da homogeneidade também é satisfeita.
Passo 5
Como ambas as propriedades (aditividade e homogeneidade) foram verificadas para vetores genéricos, concluímos que
é linear. Para dar uma intuição extra (útil na prova):
pode ser vista como um produto interno com o vetor
. Ou seja, para
,
Qualquer função do tipo “produto interno com um vetor fixo” é linear — essa é uma forma rápida de reconhecer linearidade. Um exemplo numérico rápido para checar: para
e
,
confirmando na prática o que mostramos simbolicamente.
Resposta
Sim.
é linear.