Resolva as equações:
(e) \quad\left(3 x^{2} \operatorname{tg} y-\frac{2 y^{3}}{x^{3}}\right)+\left(x^{3} \operatorname{sec} ^{2} y+4 y^{3}+\frac{3 y^{2}}{x^{2}}\right) \frac{d y}{d x}=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
\bigl(3x^{2}\tan y - \frac{2y^{3}}{x^{3}}\bigr) + \bigl(x^{3}\operatorname{sec}^{2}y + 4y^{3} + \frac{3y^{2}}{x^{2}}\bigr)\frac{dy}{dx} = 0.
Este é um caso clássico de equação exata: vamos identificar
M(x,y)=3x^{2}\tan y - \frac{2y^{3}}{x^{3}}, \quad N(x,y)=x^{3}\operatorname{sec}^{2}y + 4y^{3} + \frac{3y^{2}}{x^{2}},
e verificar que \partial M/\partial y = \partial N/\partial x.

Passo 2

Calculamos
\frac{\partial M}{\partial y} =3x^{2}\operatorname{sec}^{2}y - \frac{6y^{2}}{x^{3}},
e
\frac{\partial N}{\partial x} =3x^{2}\operatorname{sec}^{2}y - \frac{6y^{2}}{x^{3}},
logo \partial M/\partial y = \partial N/\partial x e a equação é exata.

Passo 3

Como é exata, existe uma função potencial \Psi(x,y) tal que
\frac{\partial \Psi}{\partial x}=M.
Integrando em x:
\Psi(x,y) =\int\Bigl(3x^{2}\tan y - \frac{2y^{3}}{x^{3}}\Bigr)\,dx =x^{3}\tan y+\frac{y^{3}}{x^{2}}+H(y),
onde H(y) é uma função a determinar.

Passo 4

Impondo \partial \Psi/\partial y=N, obtemos
\frac{\partial \Psi}{\partial y} =x^{3}\operatorname{sec}^{2}y+\frac{3y^{2}}{x^{2}}+H'(y) \stackrel!= x^{3}\operatorname{sec}^{2}y+4y^{3}+\frac{3y^{2}}{x^{2}}.
Daí H'(y)=4y^{3}, então
H(y)=y^{4}.

Passo 5

A família de curvas solução é dada por
\Psi(x,y)=x^{3}\tan y+\frac{y^{3}}{x^{2}}+y^{4}=C,
com C constante arbitrária.

Resposta

x^{3}\tan y+\frac{y^{3}}{x^{2}}+y^{4}=C.

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