Resolva as equações:
(i) \frac{d y}{d x}=\frac{y}{x}+\cos ^{2}\left(\frac{y}{x}\right)

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de primeira ordem
\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x} + \cos^{2}\!\biggl(\frac{y}{x}\biggr).
Esse tipo de equação em que o segundo membro depende apenas de y/x é chamado de homogênea. Para resolver, vamos usar a substituição
v = \frac{y}{x},
o que leva a uma equação separável em v e x.

Passo 2

Com y = vx, calculamos
\frac{dy}{dx} = v + x\frac{dv}{dx}.
Substituindo na equação original, temos
v + x\frac{dv}{dx} = v + \cos^{2}(v).
Cancelando os v de ambos os lados, vem
x\frac{dv}{dx} = \cos^{2}(v).

Passo 3

Agora separamos variáveis em v e x:
\frac{dv}{\cos^{2}(v)} = \frac{dx}{x}.

Passo 4

Integramos ambos os lados:
\int \operatorname{sec}^{2}(v)\,dv = \int \frac{dx}{x}.
Como \int \operatorname{sec}^{2}(v)\,dv = \tan(v) e \int dx/x = \ln\lvert x\rvert, obtemos
\tan(v) = \ln\lvert x\rvert + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 5

Voltando à variável original y, lembramos que v = y/x. Logo a solução implícita geral é
\tan\!\biggl(\frac{y}{x}\biggr) = \ln\lvert x\rvert + C.

Resposta

\tan\!\biggl(\frac{y}{x}\biggr) = \ln\lvert x\rvert + C.

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