Resolva as equações:
(f) \quad(1-x y)+\left(x y-x^{2}\right) \frac{d y}{d x}=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de primeira ordem
(1 - x y) \;+\;(x y - x^{2})\,\frac{d y}{d x}=0.
Esse tipo de equação pode ser tratado como
M(x,y)\,dx + N(x,y)\,dy = 0
e verificamos se é exata ou se precisamos de um fator integrante.

Passo 2

Escrevemos a equação na forma diferencial:
(1 - x y)\,dx + (x y - x^{2})\,dy = 0,
onde M(x,y)=1-xy e N(x,y)=xy - x^{2}.

Passo 3

Testamos a exatidão:
\frac{\partial M}{\partial y} = -x, \qquad \frac{\partial N}{\partial x} = y - 2x,
como -x \neq y - 2x, não é exata. Procuramos um fator integrante \mu(x). Se dividirmos a equação por x, torna-se mais simples:

Passo 4

Multiplicando tudo por \mu(x)=\tfrac1x, obtemos
\Bigl(\tfrac{1}{x}-y\Bigr)\,dx + (y - x)\,dy = 0.
Agora
\frac{\partial}{\partial y}\!\Bigl(\tfrac1x - y\Bigr) = -1, \qquad \frac{\partial}{\partial x}(y - x) = -1,
logo a equação é exata.

Passo 5

Buscamos uma função potencial \psi(x,y) tal que \partial\psi/\partial x = \tfrac1x - y e \partial\psi/\partial y = y - x.
Integramos em x:
\psi(x,y) = \int\Bigl(\tfrac{1}{x}-y\Bigr)\,dx = \ln\lvert x\rvert \;-\; x\,y \;+\; h(y).
Derivando em y:
\frac{\partial\psi}{\partial y} = -x + h'(y) \overset!= y - x \;\Longrightarrow\; h'(y)=y \;\Longrightarrow\; h(y)=\frac{y^2}{2}.

Passo 6

A função potencial completa fica
\psi(x,y) = \ln\lvert x\rvert - x\,y + \frac{y^2}{2}.
A condição geral da solução é \psi(x,y)=C.

Resposta

\ln\lvert x\rvert \;-\; x\,y \;+\;\frac{y^2}{2} = C.

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