Resolva as equaçōes.
.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e pede para resolvê-la (ou seja, encontrar
em função de
). Dados importantes extraídos do enunciado:
- A incógnita é a função
. -
aparece como parâmetro (assuma constante). - A equação é uma equação diferencial de primeira ordem.
O objetivo é obter a solução geral(com a constante de integração).
Passo 2
Vamos reescrever a equação isolando o termo com
. Começo passando o segundo termo para o outro lado:
Explicação didática: quando temos um produto
podemos pensar em separar variáveis porque isso sugere que podemos escrever algo como "algo em
vezes
" igual a "algo em
vezes
". A ideia é transformar a equação em uma forma integrável diretamente.
Passo 3
Separe as variáveis multiplicando ambos os lados por
:
Agora cada lado depende só de uma variável: o lado esquerdo só de
e o direito só de
. Isso é o que chamamos de equação separável. A próxima etapa é integrar ambos os lados.
Passo 4
Integramos ambos os lados:
Calcule o lado esquerdo explicitamente. Regra usada:
, logo
Passo 5
Agora o lado direito. Podemos fatorar a constante
:
Explicação didática: a integral
não possui primitiva expressável em funções elementares (isso é clássico:
e
dão origem às funções de Fresnel). Por isso a solução será dada em termos dessa integral ou em termos da função especial de Fresnel
.
Para relacionar com a função de Fresnel
usamos a definição
Fazendo a mudança de variável
(ou invertendo convenientemente) obtém-se a relação
Portanto uma antiderivada para
pode ser escrita como
Se preferir, pode manter a primitiva simbolicamente como
sem nomeá-la.
Passo 6
Voltando à integração completa e juntando resultados, temos
onde
é constante de integração. Multiplicando por 2:
onde escrevi
como a constante de integração final. Tomando raiz quadrada (lembrando o
):
Usando a expressão com a função de Fresnel
(escolhendo a primitiva que parte de
até
) obtemos a forma mais explícita
Observações finais e dicas para prova: se
a equação reduz a
, cuja solução é
constante. Se for dada uma condição inicial
basta substituir para determinar
. Não tente encontrar uma primitiva elementar de
— aceite a função de Fresnel ou deixe a integral indicada.