Resolva as equaçōes.
2 r \operatorname{sen}\left(x^{2}\right)-y \frac{d y}{d x}=0.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
2 r \operatorname{sen}\!\left(x^{2}\right)-y\frac{dy}{dx}=0
e pede para resolvê-la (ou seja, encontrar y em função de x). Dados importantes extraídos do enunciado:
  • A incógnita é a função y(x).
  • r aparece como parâmetro (assuma r constante).
  • A equação é uma equação diferencial de primeira ordem.
    O objetivo é obter a solução geral y(x) (com a constante de integração).

Passo 2

Vamos reescrever a equação isolando o termo com \dfrac{dy}{dx}. Começo passando o segundo termo para o outro lado:
y\frac{dy}{dx}=2r\operatorname{sen}\!\left(x^{2}\right).
Explicação didática: quando temos um produto y\frac{dy}{dx} podemos pensar em separar variáveis porque isso sugere que podemos escrever algo como "algo em y vezes dy" igual a "algo em x vezes dx". A ideia é transformar a equação em uma forma integrável diretamente.

Passo 3

Separe as variáveis multiplicando ambos os lados por dx:
y\,dy = 2r\operatorname{sen}\!\left(x^{2}\right)\,dx.
Agora cada lado depende só de uma variável: o lado esquerdo só de y e o direito só de x. Isso é o que chamamos de equação separável. A próxima etapa é integrar ambos os lados.

Passo 4

Integramos ambos os lados:
\int y\,dy = \int 2r\operatorname{sen}\!\left(x^{2}\right)\,dx.
Calcule o lado esquerdo explicitamente. Regra usada: \dfrac{d}{dy}\!\left(\dfrac{y^{2}}{2}\right)=y, logo
\int y\,dy = \frac{y^{2}}{2}.

Passo 5

Agora o lado direito. Podemos fatorar a constante 2r:
\int 2r\operatorname{sen}\!\left(x^{2}\right)\,dx = 2r\int \operatorname{sen}\!\left(x^{2}\right)\,dx.
Explicação didática: a integral \int \operatorname{sen}\!\left(x^{2}\right)\,dx não possui primitiva expressável em funções elementares (isso é clássico: \sin(x^{2}) e \cos(x^{2}) dão origem às funções de Fresnel). Por isso a solução será dada em termos dessa integral ou em termos da função especial de Fresnel S.
Para relacionar com a função de Fresnel S usamos a definição
S(u)=\int_{0}^{u}\sin\!\left(\frac{\pi t^{2}}{2}\right)\,dt.
Fazendo a mudança de variável t=\sqrt{\dfrac{2}{\pi}}\,s (ou invertendo convenientemente) obtém-se a relação
\int_{0}^{x}\sin\!\left(t^{2}\right)\,dt = \sqrt{\frac{\pi}{2}}\;S\!\left(\sqrt{\tfrac{2}{\pi}}\,x\right).
Portanto uma antiderivada para \sin(x^{2}) pode ser escrita como
\int \sin\!\left(x^{2}\right)\,dx = \sqrt{\frac{\pi}{2}}\;S\!\left(\sqrt{\tfrac{2}{\pi}}\,x\right)+\text{constante}.
Se preferir, pode manter a primitiva simbolicamente como \displaystyle \int \sin(x^{2})\,dx sem nomeá-la.

Passo 6

Voltando à integração completa e juntando resultados, temos
\frac{y^{2}}{2} = 2r\int \operatorname{sen}\!\left(x^{2}\right)\,dx + C_1,
onde C_1 é constante de integração. Multiplicando por 2:
y^{2} = 4r\int \operatorname{sen}\!\left(x^{2}\right)\,dx + C,
onde escrevi C=2C_1 como a constante de integração final. Tomando raiz quadrada (lembrando o \pm):
y(x)=\pm\sqrt{\,4r\int \operatorname{sen}\!\left(x^{2}\right)\,dx + C\, }.
Usando a expressão com a função de Fresnel S (escolhendo a primitiva que parte de 0 até x) obtemos a forma mais explícita
y(x)=\pm\sqrt{\,4r\sqrt{\dfrac{\pi}{2}}\;S\!\Big(\sqrt{\tfrac{2}{\pi}}\,x\Big)+C\, }.
Observações finais e dicas para prova: se r=0 a equação reduz a y\frac{dy}{dx}=0, cuja solução é y= constante. Se for dada uma condição inicial y(x_{0})=y_{0} basta substituir para determinar C. Não tente encontrar uma primitiva elementar de \sin(x^{2}) — aceite a função de Fresnel ou deixe a integral indicada.

Resposta

y(x)=\pm\sqrt{\,4r\displaystyle\int \operatorname{sen}\!\left(x^{2}\right)\,dx + C\,}
y(x)=\pm\sqrt{\,4r\sqrt{\dfrac{\pi}{2}}\;S\!\Big(\sqrt{\tfrac{2}{\pi}}\,x\Big)+C\,}

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