Resolva as equaçōes.
.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial
Informações dadas:
- A equação envolve a função
e sua derivada . - O domínio é
(isso permite dividir por sem problemas). - O objetivo é encontrar a solução geral
(com constante arbitrária).
Passo 2
Colocar a equação na forma padrão de uma equação linear de primeira ordem. Como
, podemos dividir ambos os lados por
. Assim obtemos
Aqui identifiquei
e
.
Agora uma breve explicação didática do método que vou usar (fórmula do fator integrante):
- Para uma equação da forma
, define-se o fator integrante
- Multiplicando a equação por
transforma-se o lado esquerdo em . Isso facilita porque então basta integrar ambos os lados em relação a .
Passo 3
Calcular o fator integrante
. Como
,
onde se usou que
para simplificar
.
Multiplicando a equação padronizada por
obtemos
O lado esquerdo é exatamente a derivada do produto
, logo
Passo 4
Integrar ambos os lados em relação a
:
onde
é a constante de integração.
Agora precisamos calcular a integral
.
Passo 5
Calcular
por integração por partes. Escolhendo
temos
Pela fórmula de partes
, obtemos
Calcule
. Substituindo,
Passo 6
Substituir a integral encontrada em
:
Dividindo por
(lembre que
) obtemos a solução geral
Breve verificação (opcional, mas útil para a prova): para a solução particular com
,
Calculando
e fazendo contas (derivada por produto e simplificações) obtém-se exatamente
, confirmando que a solução está correta.
Passo 7
Resumo do que foi feito: transformei a equação em forma padrão, usei o fator integrante
, integrei o lado direito por partes e isolei
. A solução geral contém a constante arbitrária
dividida por
, como esperado para equações lineares com fator integrante proporcional a
.