Resolva as equaçōes.
t y^{\prime}+y=3 t \cos (3 t), \quad t>0.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
t\,y'(t)+y(t)=3t\cos(3t),\qquad t>0.
Informações dadas:
  • A equação envolve a função y(t) e sua derivada y'(t).
  • O domínio é t>0 (isso permite dividir por t sem problemas).
  • O objetivo é encontrar a solução geral y(t) (com constante arbitrária).

Passo 2

Colocar a equação na forma padrão de uma equação linear de primeira ordem. Como t>0, podemos dividir ambos os lados por t. Assim obtemos
y'(t)+\frac{1}{t}\,y(t)=3\cos(3t).
Aqui identifiquei P(t)=\dfrac{1}{t} e Q(t)=3\cos(3t).
Agora uma breve explicação didática do método que vou usar (fórmula do fator integrante):
  • Para uma equação da forma y'+P(t)y=Q(t), define-se o fator integrante
\mu(t)=\exp\!\Big(\int P(t)\,dt\Big).
  • Multiplicando a equação por \mu(t) transforma-se o lado esquerdo em \dfrac{d}{dt}\big(\mu(t)y(t)\big). Isso facilita porque então basta integrar ambos os lados em relação a t.

Passo 3

Calcular o fator integrante \mu(t). Como P(t)=\dfrac{1}{t},
\mu(t)=\exp\!\Big(\int \frac{1}{t}\,dt\Big)=\exp(\ln t)=t,
onde se usou que t>0 para simplificar \exp(\ln t)=t.
Multiplicando a equação padronizada por \mu(t)=t obtemos
t\bigg(y'(t)+\frac{1}{t}y(t)\bigg)=t\cdot 3\cos(3t).
O lado esquerdo é exatamente a derivada do produto t y(t), logo
\frac{d}{dt}\big(t\,y(t)\big)=3t\cos(3t).

Passo 4

Integrar ambos os lados em relação a t:
t\,y(t)=\int 3t\cos(3t)\,dt + C,
onde C é a constante de integração.
Agora precisamos calcular a integral \displaystyle\int 3t\cos(3t)\,dt.

Passo 5

Calcular \displaystyle\int 3t\cos(3t)\,dt por integração por partes. Escolhendo
u=t,\qquad dv=3\cos(3t)\,dt,
temos
du=dt,\qquad v=\int 3\cos(3t)\,dt=\sin(3t).
Pela fórmula de partes \int u\,dv = uv-\int v\,du, obtemos
\int 3t\cos(3t)\,dt = t\sin(3t) - \int \sin(3t)\,dt.
Calcule \displaystyle\int \sin(3t)\,dt = -\frac{1}{3}\cos(3t). Substituindo,
\int 3t\cos(3t)\,dt = t\sin(3t) + \frac{1}{3}\cos(3t) + C.

Passo 6

Substituir a integral encontrada em t\,y(t)=\cdots:
t\,y(t)=t\sin(3t)+\frac{1}{3}\cos(3t)+C.
Dividindo por t (lembre que t>0) obtemos a solução geral
y(t)=\sin(3t)+\frac{1}{3t}\cos(3t)+\frac{C}{t}.
Breve verificação (opcional, mas útil para a prova): para a solução particular com C=0,
y_p(t)=\sin(3t)+\frac{1}{3t}\cos(3t).
Calculando t y_p'(t)+y_p(t) e fazendo contas (derivada por produto e simplificações) obtém-se exatamente 3t\cos(3t), confirmando que a solução está correta.

Passo 7

Resumo do que foi feito: transformei a equação em forma padrão, usei o fator integrante \mu(t)=t, integrei o lado direito por partes e isolei y(t). A solução geral contém a constante arbitrária C dividida por t, como esperado para equações lineares com fator integrante proporcional a t.

Resposta

y(t)=\sin(3t)+\frac{1}{3t}\cos(3t)+\frac{C}{t}

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