Um corpo de massa m=1 \mathrm{~kg} está preso a uma mola com constante elástica k= 25 \mathrm{~N} / \mathrm{m}. O sistema sofre amortecimento proporcional à velocidade, com constante de amortecimento c=6 \mathrm{~N} \mathrm{~s} / \mathrm{m}.
No instante inicial,
x(0)=0,2 \mathrm{~m}, \quad x^{\prime}(0)=-1 \mathrm{~m} / \mathrm{s} .
Determine a posiçāo do corpo em funçāo do tempo sabendo que a equaçio diferencial do movimento é
m x^{\prime \prime}+c x^{\prime}+k x=0 .

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede a posição do corpo em função do tempo:
  • Massa: m=1\\ \mathrm{kg}.
  • Constante elástica da mola: k=25\\ \mathrm{N/m}.
  • Constante de amortecimento: c=6\\ \mathrm{N\,s/m}.
  • Condições iniciais: x(0)=0,2\\ \mathrm{m} e x'(0)=-1\\ \mathrm{m/s}.
  • Equação diferencial do movimento:
m x'' + c x' + k x = 0.
O que é pedido: encontrar x(t) que satisfaça a equação diferencial dada e as condições iniciais.

Passo 2

Primeiro simplifies a equação dividindo por m (aqui m=1, então nada muda numericamente) e escrevendo a equação padrão:
x'' + \frac{c}{m} x' + \frac{k}{m} x = 0.
Substituindo os valores:
x'' + 6 x' + 25 x = 0.
Para resolver uma equação linear homogênea com coeficientes constantes usamos a equação característica associada. A equação característica é obtida trocando x(t) por e^{r t}, o que leva a:
r^2 + 6 r + 25 = 0.

Passo 3

Calcula-se o discriminante da equação quadrática para classificar as raízes:
\Delta = 6^2 - 4\cdot 1 \cdot 25 = 36 - 100 = -64.
Como \Delta<0, as raízes são complexas conjugadas. Calcula as raízes:
r = \frac{-6 \pm \sqrt{-64}}{2} = \frac{-6 \pm 8\mathrm{i}}{2} = -3 \pm 4\mathrm{i}.
Quando as raízes são r=\alpha \pm \mathrm{i}\beta com \alpha=-3 e \beta=4, a solução geral da equação é da forma
x(t)=\mathrm{e}^{\alpha t}\big(C_1\cos(\beta t)+C_2\sin(\beta t)\big).
Isto corresponde a um movimento oscilatório com frequência angular amortecida \beta=4 rad/s e com amplitude decaindo exponencialmente com taxa |\alpha|=3.

Passo 4

Escreve a solução geral usando constantes A e B:
x(t)=\mathrm{e}^{-3t}\big(A\cos(4t)+B\sin(4t)\big).
Aplica a condição inicial x(0)=0,2. Avaliando em t=0:
x(0)=\mathrm{e}^{0}\big(A\cos0 + B\sin0\big)=A.
Logo
A=0,2.

Passo 5

Agora aplica a condição em x'(0)=-1. Primeiro calcula x'(t). Derivar um produto exige a regra do produto; seja u(t)=\mathrm{e}^{-3t} e v(t)=A\cos(4t)+B\sin(4t). Então
x'(t)=u'(t)v(t)+u(t)v'(t).
Calculando as derivadas:
u'(t)=-3\mathrm{e}^{-3t}, \qquad v'(t)=-4A\sin(4t)+4B\cos(4t).
Portanto
x'(t)=\mathrm{e}^{-3t}\big(-3(A\cos4t+B\sin4t)-4A\sin4t+4B\cos4t\big).
Agora avalia em t=0:
x'(0)=\mathrm{e}^{0}\big(-3(A\cdot1 + B\cdot0)-4A\cdot0+4B\cdot1\big) = -3A + 4B.
Usando A=0,2 e x'(0)=-1 obtemos:
-3\cdot 0,2 + 4B = -1.
Calcula:
-0,6 + 4B = -1 \quad\Rightarrow\quad 4B = -0,4 \quad\Rightarrow\quad B = -0,1.

Passo 6

Substitui A e B na solução geral para obter a solução particular que satisfaz as condições iniciais:
x(t)=\mathrm{e}^{-3t}\big(0,2\cos(4t)-0,1\sin(4t)\big).
Explicando em palavras amigáveis: o corpo oscila com frequência angular amortecida 4\\ \text{rad/s}, mas a amplitude dessas oscilações diminui exponencialmente como \mathrm{e}^{-3t}. O sinal negativo em B apenas desloca a fase da oscilação inicial.

Passo 7

Opcionalmente, pode-se escrever em forma de amplitude-fase. Calcula a amplitude R e a fase \varphi:
R=\sqrt{0,2^{2}+(-0,1)^{2}}=\sqrt{0,04+0,01}=\sqrt{0,05}\approx0,2236,
\varphi=\arctan\!\big(\tfrac{-0,1}{0,2}\big)=\arctan(-0,5)\approx-0,46365\\ \text{rad}.
Assim
x(t)=R\,\mathrm{e}^{-3t}\cos(4t-\varphi)=0,2236\,\mathrm{e}^{-3t}\cos\big(4t+0,46365\big),
onde foi usada a identidade linear entre coseno e seno para reescrever a combinação A\cos+ B\sin. Esta forma é útil para ver amplitude e fase iniciais, mas a forma com A e B já é totalmente correta e direta para aplicar condições iniciais.

Resposta

x(t)=\mathrm{e}^{-3t}\big(0,2\cos(4t)-0,1\sin(4t)\big)

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