Um corpo de massa
está preso a uma mola com constante elástica
. O sistema sofre amortecimento proporcional à velocidade, com constante de amortecimento
.
No instante inicial,
Determine a posiçāo do corpo em funçāo do tempo sabendo que a equaçio diferencial do movimento é
Passo 1
O enunciado dá os seguintes dados e pede a posição do corpo em função do tempo:
- Massa:
. - Constante elástica da mola:
. - Constante de amortecimento:
. - Condições iniciais:
e . - Equação diferencial do movimento:
O que é pedido: encontrar
que satisfaça a equação diferencial dada e as condições iniciais.
Passo 2
Primeiro simplifies a equação dividindo por
(aqui
, então nada muda numericamente) e escrevendo a equação padrão:
Substituindo os valores:
Para resolver uma equação linear homogênea com coeficientes constantes usamos a equação característica associada. A equação característica é obtida trocando
por
, o que leva a:
Passo 3
Calcula-se o discriminante da equação quadrática para classificar as raízes:
Como
, as raízes são complexas conjugadas. Calcula as raízes:
Quando as raízes são
com
e
, a solução geral da equação é da forma
Isto corresponde a um movimento oscilatório com frequência angular amortecida
rad/s e com amplitude decaindo exponencialmente com taxa
.
Passo 4
Escreve a solução geral usando constantes
e
:
Aplica a condição inicial
. Avaliando em
:
Logo
Passo 5
Agora aplica a condição em
. Primeiro calcula
. Derivar um produto exige a regra do produto; seja
e
. Então
Calculando as derivadas:
Portanto
Agora avalia em
:
Usando
e
obtemos:
Calcula:
Passo 6
Substitui
e
na solução geral para obter a solução particular que satisfaz as condições iniciais:
Explicando em palavras amigáveis: o corpo oscila com frequência angular amortecida
, mas a amplitude dessas oscilações diminui exponencialmente como
. O sinal negativo em
apenas desloca a fase da oscilação inicial.
Passo 7
Opcionalmente, pode-se escrever em forma de amplitude-fase. Calcula a amplitude
e a fase
:
Assim
onde foi usada a identidade linear entre coseno e seno para reescrever a combinação
. Esta forma é útil para ver amplitude e fase iniciais, mas a forma com
e
já é totalmente correta e direta para aplicar condições iniciais.