Resolva as equações de Riccati dada, sendo
uma solução conhecida para a equação.
(a)
(a)
Passo 1
O enunciado pede a solução geral da equação de Riccati
sabendo que uma solução particular é
.
Conteúdo: O método de redução de Riccati converte a equação numa ODE linear usando a substituição
Conteúdo: O método de redução de Riccati converte a equação numa ODE linear usando a substituição
Passo 2
Primeiro, escrevemos a equação na forma padrão de derivada:
Passo 3
Aplicamos a substituição típica de Riccati:
Então
Passo 4
Substituindo em
obtemos
Multiplicando ambos os lados por
dá
que é uma ODE linear de primeira ordem em
.
Passo 5
Escrevemos no formato padrão:
O fator integrante é
.
Multiplicando a ODE por :
Multiplicando a ODE por
Integrando:
Passo 6
Voltando a
:
onde
é constante arbitrária.
Resposta
A solução geral é
com
constante de integração.