Resolva as equações de Riccati dada, sendo y_{1} uma solução conhecida para a equação.
(a) x d y d x=-2-y+y^{2}, y_{1}=2

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação de Riccati
x\frac{dy}{dx} = -2 - y + y^2
sabendo que uma solução particular é y_{1}=2.
Conteúdo: O método de redução de Riccati converte a equação numa ODE linear usando a substituição
y = y_{1} + \frac{1}{u}.

Passo 2

Primeiro, escrevemos a equação na forma padrão de derivada:
\frac{dy}{dx} = \frac{-2 - y + y^2}{x}.

Passo 3

Aplicamos a substituição típica de Riccati:
y = 2 + \frac{1}{u(x)}.
Então
\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{u^2}\,\frac{du}{dx}.

Passo 4

Substituindo em \frac{dy}{dx} = \frac{-2 - y + y^2}{x} obtemos
-\frac{x}{u^2}\,\frac{du}{dx} = \frac{-2 - \bigl(2+\tfrac1u\bigr) + \bigl(2+\tfrac1u\bigr)^2}{x}\,x = \frac{3}{u} + \frac{1}{u^2}.
Multiplicando ambos os lados por -u^2
x\,\frac{du}{dx} = -3\,u - 1,
que é uma ODE linear de primeira ordem em u.

Passo 5

Escrevemos no formato padrão:
\frac{du}{dx} + \frac{3}{x}\,u = -\frac{1}{x}.
O fator integrante é \mu(x)=e^{\int3/x\,dx}=x^3.
Multiplicando a ODE por x^3:
\frac{d}{dx}\bigl(x^3u\bigr) = -x^2.
Integrando:
x^3u = -\frac{x^3}{3} + C \quad\Longrightarrow\quad u(x) = -\frac{1}{3} + C\,x^{-3}.

Passo 6

Voltando a y:
y = 2 + \frac{1}{u} = 2 + \frac{1}{-\tfrac{1}{3} + Cx^{-3}} = 2 + \frac{3}{3Cx^{-3} - 1} = 2 + \frac{3x^3}{K - x^3},
onde K=3C é constante arbitrária.

Resposta

A solução geral é
y(x) = 2 + \frac{3x^3}{K - x^3},
com K constante de integração.

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