Resolva os problemas de valor inicial
(a) \left\{\begin{array}{l}\frac{d y}{d x}+5 y=20 \\\ y(0)=2\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá um problema de valor inicial para uma equação diferencial ordinária linear de primeira ordem:
\frac{dy}{dx} + 5y = 20, \quad y(0) = 2.
O conteúdo envolvido é método do fator integrante para resolver equações lineares do tipo \frac{dy}{dx} + P(x)\,y = Q(x).

Passo 2

Identificamos P(x)=5 e Q(x)=20. Calculamos o fator integrante \mu(x) pela fórmula
\mu(x) = \exp\Bigl(\int P(x)\,dx\Bigr) = \exp\bigl(\int 5\,dx\bigr) = e^{5x}.

Passo 3

Multiplicamos a equação original por \mu(x)=e^{5x}. Isso torna a equação na forma
e^{5x}\frac{dy}{dx} + 5\,e^{5x}y = 20\,e^{5x},
ou seja,
\frac{d}{dx}\bigl(y\,e^{5x}\bigr) = 20\,e^{5x}.

Passo 4

Integrando em ambos os lados em relação a x,
y\,e^{5x} = \int 20\,e^{5x}\,dx = 4\,e^{5x} + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 5

Isolando y,
y = 4 + C\,e^{-5x}.
Usamos a condição inicial y(0)=2:
2 = 4 + C\cdot e^{0} \;\Longrightarrow\; C = 2 - 4 = -2.

Resposta

A solução do problema de valor inicial é
y(x) = 4 - 2\,e^{-5x}.

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