Resolva as equações seguintes fazendo a mudança de variáveis v=y / x :
(x+\sqrt{x y}) \frac{d y}{d x}+x-y=x^{-1 / 2} y^{3 / 2}.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial fazendo a mudança de variáveis \,v=\dfrac{y}{x}. A equação dada é
(x+\sqrt{x y})\frac{dy}{dx}+x-y=x^{-1/2}y^{3/2}.
Informações relevantes que o enunciado fornece (e que vamos usar):
  • A incógnita é y função de x.
  • Deve-se usar a substituição \,v=\dfrac{y}{x}.
  • Aparecem raízes como \sqrt{x y} e potências y^{3/2}, portanto para soluções reais será necessário que as quantidades sob raiz sejam não-negativas (comentarei isso depois).
  • Não devo resolver antes de ter feito a mudança de variável; a resolução começará a partir da próxima etapa.

Passo 2

Faço a mudança de variável pedida: defino
v=\frac{y}{x}\quad\Longrightarrow\quad y=vx.
Agora preciso da derivada \dfrac{dy}{dx}. Como y=v(x)\,x (note que v depende de x), uso a regra do produto:
\frac{dy}{dx}=\frac{d}{dx}(v x)=v + x\frac{dv}{dx}.
Explicando a regra do produto de forma simples: se y=uv com u(x)=v(x) e w(x)=x, então y'=u'w+uw'. Aqui u=v(x) e w=x têm derivadas u'=dv/dx e w'=1, resultando em y'=x\,dv/dx+v.

Passo 3

Calculo as expressões que aparecem na equação em função de v:
  • \sqrt{x y}=\sqrt{x\cdot (v x)}=\sqrt{v x^2}=\sqrt{v}\,x. Aqui usei \sqrt{a b}=\sqrt{a}\sqrt{b} e \sqrt{x^2}=|x|. Para manter a notação simples e porque depois dividiremos por x, vou considerar x em intervalo onde o sinal fica consistente; comentarei domínio no final.
  • y^{3/2}=(v x)^{3/2}=v^{3/2} x^{3/2}.

Passo 4

Substituo \dfrac{dy}{dx}=v+x\,\dfrac{dv}{dx}, \sqrt{x y}=\sqrt{v}\,x e y^{3/2}=v^{3/2}x^{3/2} na equação original:
\bigl(x+\sqrt{v}\,x\bigr)\bigl(v+x\frac{dv}{dx}\bigr)+x-y=x^{-1/2}\cdot v^{3/2}x^{3/2}.
Fatorando x no parêntese da esquerda e simplificando o lado direito:
x(1+\sqrt{v})\bigl(v+x\frac{dv}{dx}\bigr)+x-y = v^{3/2}x.
Como y=vx, temos x-y = x - v x = x(1-v). Substituindo:
x(1+\sqrt{v})\bigl(v+x\frac{dv}{dx}\bigr) + x(1-v) = v^{3/2}x.

Passo 5

Divido toda a equação por x (assumindo x\neq0, caso x=0 é um ponto singular que deve ser tratado separadamente):
(1+\sqrt{v})\bigl(v+x\frac{dv}{dx}\bigr) + (1-v) = v^{3/2}.
Agora desenvolvo o produto:
(1+\sqrt{v})v + (1+\sqrt{v})x\frac{dv}{dx} + 1 - v = v^{3/2}.
Calculo (1+\sqrt{v})v = v + v^{3/2}. Substituindo:
v + v^{3/2} + (1+\sqrt{v})x\frac{dv}{dx} + 1 - v = v^{3/2}.
As parcelas v e -v se cancelam, e também há v^{3/2} em ambos os lados; cancelando v^{3/2} nos dois lados resta:
(1+\sqrt{v})x\frac{dv}{dx} + 1 = 0.

Passo 6

Isolo o termo com \dfrac{dv}{dx}:
(1+\sqrt{v})x\frac{dv}{dx} = -1.
Logo
\frac{dv}{dx} = -\frac{1}{x(1+\sqrt{v})}.
Isto é uma equação separável: posso separar v e x:
(1+\sqrt{v})\,dv = -\frac{dx}{x}.
Explicando a ideia de separação de variáveis: rearranja-se a equação para ter toda a parte em v multiplicando dv num lado e toda a parte em x multiplicando dx no outro, permitindo integrar cada lado independentemente.

Passo 7

Integro ambos os lados:
\int (1+\sqrt{v})\,dv = -\int \frac{dx}{x}.
Calculo as integrais separadamente:
  • \displaystyle \int 1\,dv = v.
  • \displaystyle \int \sqrt{v}\,dv = \int v^{1/2}\,dv = \frac{2}{3}v^{3/2} (regra básica de potências: \int v^a dv = \dfrac{v^{a+1}}{a+1} para a\neq -1).
  • \displaystyle \int \frac{dx}{x} = \ln|x|.
Portanto
v + \frac{2}{3}v^{3/2} = -\ln|x| + C,
onde C é constante arbitrária de integração.

Passo 8

Volto à variável original y usando v=\dfrac{y}{x}. Substituindo:
\frac{y}{x} + \frac{2}{3}\left(\frac{y}{x}\right)^{3/2} = -\ln|x| + C.
Posso escrever de forma equivalente, isolando o logaritmo no lado esquerdo:
\frac{y}{x} + \frac{2}{3}\left(\frac{y}{x}\right)^{3/2} + \ln|x| = C.
Comentário sobre domínio e hipóteses: como apareceram \sqrt{x y} e (y)^{3/2} originalmente, para soluções reais convém ter y\ge 0 e x y \ge 0. Em particular, se y\ge0 então \left(\dfrac{y}{x}\right)^{3/2} exige que \dfrac{y}{x}\ge0; escolha do ramo de \sqrt{\cdot} deve ser consistente. Também note que x=0 não é permitido na divisão que fizemos, então x=0 precisa de tratamento à parte (normalmente não faz parte do domínio da solução implícita obtida).

Resposta

\frac{y}{x} + \frac{2}{3}\left(\frac{y}{x}\right)^{3/2} + \ln|x| = C

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