Resolva as equações seguintes fazendo a mudança de variáveis
:
.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial fazendo a mudança de variáveis
. A equação dada é
Informações relevantes que o enunciado fornece (e que vamos usar):
- A incógnita é
função de . - Deve-se usar a substituição
. - Aparecem raízes como
e potências , portanto para soluções reais será necessário que as quantidades sob raiz sejam não-negativas (comentarei isso depois). - Não devo resolver antes de ter feito a mudança de variável; a resolução começará a partir da próxima etapa.
Passo 2
Faço a mudança de variável pedida: defino
Agora preciso da derivada
. Como
(note que
depende de
), uso a regra do produto:
Explicando a regra do produto de forma simples: se
com
e
, então
. Aqui
e
têm derivadas
e
, resultando em
.
Passo 3
Calculo as expressões que aparecem na equação em função de
:
-
. Aqui usei e . Para manter a notação simples e porque depois dividiremos por , vou considerar em intervalo onde o sinal fica consistente; comentarei domínio no final. -
Passo 4
Substituo
,
e
na equação original:
Fatorando
no parêntese da esquerda e simplificando o lado direito:
Como
, temos
. Substituindo:
Passo 5
Divido toda a equação por
(assumindo
, caso
é um ponto singular que deve ser tratado separadamente):
Agora desenvolvo o produto:
Calculo
. Substituindo:
As parcelas
e
se cancelam, e também há
em ambos os lados; cancelando
nos dois lados resta:
Passo 6
Isolo o termo com
:
Logo
Isto é uma equação separável: posso separar
e
:
Explicando a ideia de separação de variáveis: rearranja-se a equação para ter toda a parte em
multiplicando
num lado e toda a parte em
multiplicando
no outro, permitindo integrar cada lado independentemente.
Passo 7
Integro ambos os lados:
Calculo as integrais separadamente:
-
-
(regra básica de potências: para ). -
Portanto
onde
é constante arbitrária de integração.
Passo 8
Volto à variável original
usando
. Substituindo:
Posso escrever de forma equivalente, isolando o logaritmo no lado esquerdo:
Comentário sobre domínio e hipóteses: como apareceram
e
originalmente, para soluções reais convém ter
e
. Em particular, se
então
exige que
; escolha do ramo de
deve ser consistente. Também note que
não é permitido na divisão que fizemos, então
precisa de tratamento à parte (normalmente não faz parte do domínio da solução implícita obtida).