Resolva as equações fazendo as mudanças de variáveis sugeridas:
.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial e uma mudança de variável sugerida. As informações são:
- Equação diferencial:
. - Mudança sugerida:
.
O que a questão pede: encontrar a solução geral
usando a mudança de variável
.
Passo 2
Primeiro vamos relacionar
com
por derivação. Como
, derivando ambos os lados em relação a
(regra da cadeia/derivada de soma) obtemos:
Aqui expliquei cada termo: a derivada de
é
, a derivada de
é
onde
.
Passo 3
Agora substituímos a expressão dada para
. O enunciado diz que
, e como
isso é simplesmente
. Substituindo em
resulta:
Portanto transformamos a equação original em uma equação para
.
Passo 4
A equação para
é separável. Escrevemos:
Agora integrando os dois lados em relação a
(ou
no lado esquerdo) teremos a primitiva do lado esquerdo igual a
mais constante de integração.
Passo 5
Para integrar o lado esquerdo, faço uma substituição simples para chegar à forma conhecida da integral do arco-tangente. Defina
. Então
e
. Note que:
Assim
onde
é a constante de integração. Voltando a
usando
, obtemos:
Passo 6
Isolando a função tangente:
onde
é outra constante arbitrária. Aplicando a tangente em ambos os lados:
Portanto
Passo 7
Voltamos à variável original
. Lembrando que
, temos:
Isolando
:
Podemos simplificar os coeficientes:
onde
é a constante arbitrária de integração (pode ser qualquer número real). Esta é a solução geral.