Resolva as equações fazendo as mudanças de variáveis sugeridas:
y^{\prime}=(9 x+16 y)^{2}, v=9 x+16 y.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial e uma mudança de variável sugerida. As informações são:
  • Equação diferencial: y'=(9x+16y)^{2}.
  • Mudança sugerida: v=9x+16y.
O que a questão pede: encontrar a solução geral y(x) usando a mudança de variável v=9x+16y.

Passo 2

Primeiro vamos relacionar v com y por derivação. Como v=9x+16y, derivando ambos os lados em relação a x (regra da cadeia/derivada de soma) obtemos:
\frac{dv}{dx}=9+16\frac{dy}{dx}.
Aqui expliquei cada termo: a derivada de 9x é 9, a derivada de 16y é 16y' onde y'=\dfrac{dy}{dx}.

Passo 3

Agora substituímos a expressão dada para y'. O enunciado diz que y'=(9x+16y)^{2}, e como v=9x+16y isso é simplesmente y'=v^{2}. Substituindo em \dfrac{dv}{dx}=9+16y' resulta:
\frac{dv}{dx}=9+16v^{2}.
Portanto transformamos a equação original em uma equação para v(x).

Passo 4

A equação para v é separável. Escrevemos:
\frac{dv}{9+16v^{2}}=dx.
Agora integrando os dois lados em relação a x (ou v no lado esquerdo) teremos a primitiva do lado esquerdo igual a x mais constante de integração.

Passo 5

Para integrar o lado esquerdo, faço uma substituição simples para chegar à forma conhecida da integral do arco-tangente. Defina u=\dfrac{4v}{3}. Então v=\dfrac{3u}{4} e dv=\dfrac{3}{4}du. Note que:
9+16v^{2}=9+16\left(\frac{3u}{4}\right)^{2}=9+16\cdot\frac{9u^{2}}{16}=9(1+u^{2}).
Assim
\int\frac{dv}{9+16v^{2}} =\int\frac{\tfrac{3}{4}du}{9(1+u^{2})} =\frac{3}{36}\int\frac{du}{1+u^{2}} =\frac{1}{12}\arctan(u)+C,
onde C é a constante de integração. Voltando a v usando u=\dfrac{4v}{3}, obtemos:
\frac{1}{12}\arctan\!\left(\frac{4v}{3}\right)=x+C.

Passo 6

Isolando a função tangente:
\arctan\!\left(\frac{4v}{3}\right)=12x+C_{1},
onde C_{1}=12C é outra constante arbitrária. Aplicando a tangente em ambos os lados:
\frac{4v}{3}=\tan(12x+C_{1}).
Portanto
v=\frac{3}{4}\tan(12x+C_{1}).

Passo 7

Voltamos à variável original y. Lembrando que v=9x+16y, temos:
9x+16y=\frac{3}{4}\tan(12x+C_{1}).
Isolando y:
y=\frac{1}{16}\left(\frac{3}{4}\tan(12x+C_{1})-9x\right).
Podemos simplificar os coeficientes:
y(x)=\frac{3}{64}\tan(12x+C_{1})-\frac{9}{16}x,
onde C_{1} é a constante arbitrária de integração (pode ser qualquer número real). Esta é a solução geral.

Resposta

y(x)=\dfrac{3}{64}\tan\bigl(12x+C\bigr)-\dfrac{9}{16}x

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