Determine o valor de
para que a distância do ponto
ao plano
seja igual a 3 unidades.
Passo 1
O enunciado nos dá:
- Um ponto
. - Um plano
com equação . - A condição: a distância do ponto
ao plano deve ser igual a unidades.
O que é pedido:
- Determinar o(s) valor(es) de
que tornam a distância de ao plano igual a .
Passo 2
Fórmula que vamos usar (explicada de forma intuitiva):
O que cada símbolo significa:
-
são os coeficientes da equação do plano . -
são as coordenadas do ponto . - O numerador
é a avaliação do lado esquerdo da equação do plano no ponto ; tomar o valor absoluto dá a distância “ass assinada” em valor positivo. - O denominador
é o comprimento (norma) do vetor normal ao plano .
Intuição rápida da fórmula: a distância é a projeção (em módulo) do vetor que liga qualquer ponto do plano aténa direção do vetor normal unitário do plano.
Passo 3
Identificar os coeficientes e aplicar a fórmula:
- Do plano
temos , , , . - Do ponto
temos , , .
Calcular numerador:
Calcular denominador:
Portanto a distância é
Passo 4
Impor a condição distância
:
Multiplicando ambos os lados por
:
Resolver a equação com valor absoluto: duas possibilidades
Resolvendo cada uma:
- Se
então . - Se
então .
Passo 5
Verificação rápida (para ficar tranquilo):
- Para
: . - Para
: .
Ambos satisfazem a condição.