Determine o valor de k para que a distância do ponto P(k, 1,1) ao plano \pi: x+ 2 y-2 z+5=0 seja igual a 3 unidades.

Passo 1

O enunciado nos dá:
  • Um ponto P(k,1,1).
  • Um plano \pi com equação x+2y-2z+5=0.
  • A condição: a distância do ponto P ao plano \pi deve ser igual a 3 unidades.
O que é pedido:
  • Determinar o(s) valor(es) de k que tornam a distância de P(k,1,1) ao plano igual a 3.

Passo 2

Fórmula que vamos usar (explicada de forma intuitiva):
\text{distância}(P,(Ax+By+Cz+D=0))=\frac{|Ax_0+By_0+Cz_0+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}.â
O que cada símbolo significa:
  • A,B,C,D são os coeficientes da equação do plano Ax+By+Cz+D=0.
  • (x_0,y_0,z_0) são as coordenadas do ponto P.
  • O numerador Ax_0+By_0+Cz_0+D é a avaliação do lado esquerdo da equação do plano no ponto P; tomar o valor absoluto dá a distância “ass assinada” em valor positivo.
  • O denominador \sqrt{A^2+B^2+C^2} é o comprimento (norma) do vetor normal ao plano \mathbf{n}=(A,B,C).
    Intuição rápida da fórmula: a distância é a projeção (em módulo) do vetor que liga qualquer ponto do plano até P na direção do vetor normal unitário do plano.

Passo 3

Identificar os coeficientes e aplicar a fórmula:
  • Do plano x+2y-2z+5=0 temos A=1, B=2, C=-2, D=5.
  • Do ponto P temos x_0=k, y_0=1, z_0=1.
Calcular numerador:
|Ax_0+By_0+Cz_0+D| = |1\cdot k + 2\cdot 1 + (-2)\cdot 1 + 5| = |k + 2 -2 +5| = |k+5|.
Calcular denominador:
\sqrt{A^2+B^2+C^2}=\sqrt{1^2+2^2+(-2)^2}=\sqrt{1+4+4}=\sqrt{9}=3.
Portanto a distância é
\frac{|k+5|}{3}.

Passo 4

Impor a condição distância =3:
\frac{|k+5|}{3}=3.
Multiplicando ambos os lados por 3:
|k+5|=9.
Resolver a equação com valor absoluto: duas possibilidades
k+5=9 \quad\text{ou}\quad k+5=-9.
Resolvendo cada uma:
  • Se k+5=9 então k=4.
  • Se k+5=-9 então k=-14.

Passo 5

Verificação rápida (para ficar tranquilo):
  • Para k=4: |4+5|/3=9/3=3.
  • Para k=-14: |-14+5|/3=|-9|/3=9/3=3.
    Ambos satisfazem a condição.

Resposta

k=4
k=-14

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