Resolva as equações a seguir:
.
Passo 1
Beleza, aqui a gente tem uma recorrência linear homogênea de segunda ordem, que é
O conteúdo envolvido é:
- Recorrência linear homogênea.
- Como usar a equação característica pra encontrar a solução geral.
Para resolver, vamos supor uma solução do tipoe achar quais valores de funcionam.
Passo 2
A ideia é: se
, então
Substituindo na recorrência:
A gente fatoriza
, já que
(procuramos
):
Isso aqui é a chamada equação característica.
Passo 3
Agora resolvemos
Note que
.
Ou seja, a equação tem raiz dupla:
Ou seja, a equação tem raiz dupla:
com multiplicidade 2.
Passo 4
Quando a equação característica tem raiz dupla
, a solução geral da recorrência é
onde
e
são constantes que viriam de condições iniciais.
Aqui , então
Aqui
Resposta
onde
e
são constantes definidas pelas condições iniciais.