Resolva as equações a seguir:
xn+2+6 xn+1+9 xn=0.

Passo 1

Beleza, aqui a gente tem uma recorrência linear homogênea de segunda ordem, que é
xn+2 + 6,xn+1 + 9,xn ;=; 0
O conteúdo envolvido é:
  • Recorrência linear homogênea.
  • Como usar a equação característica pra encontrar a solução geral.
    Para resolver, vamos supor uma solução do tipo e achar quais valores de funcionam.

Passo 2

A ideia é: se xn+1 = r^n+1, xn+2 = r^n+2 , então
r^n+2 + 6,r^n+1 + 9,r^n = 0
Substituindo na recorrência:
r^nl(r^2 + 6r + 9r)=0 Longrightarrow r^2 + 6r + 9 = 0
A gente fatoriza , já que (procuramos ):
Isso aqui é a chamada equação característica.

Passo 3

Agora resolvemos
r^2 + 6r + 9 = 0
Note que r = -62 = -3, .
Ou seja, a equação tem raiz dupla:
com multiplicidade 2.

Passo 4

Quando a equação característica tem raiz dupla xn = l(A + B,nr),r0^n, , a solução geral da recorrência é
xn = (A + B,n),(-3)^n
onde e são constantes que viriam de condições iniciais.
Aqui , então

Resposta

boxedxn = (A + B,n),(-3)^n,
onde e são constantes definidas pelas condições iniciais.

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