Resolva as equações separáveis a seguir.
x d x+\frac{1}{y} d y=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial separável
x\,dx + \frac{1}{y}\,dy = 0.
O conteúdo aqui é separação de variáveis: vamos reescrever a equação em forma \frac{dy}{dx} = f(x)\,g(y) e integrar.

Passo 2

Primeiro passamos tudo relativo a y para um lado e tudo relativo a x para outro. Note que
x\,dx + \frac{1}{y}\,dy = 0 \quad\Longrightarrow\quad \frac{1}{y}\,dy = -\,x\,dx.

Passo 3

Agora integramos ambos os lados:
\int \frac{1}{y}\,dy = \int -x\,dx
\ln\bigl|y\bigr| = -\frac{x^2}{2} + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 4

Para isolar y, exponenciamos:
\bigl|y\bigr| = e^{-\frac{x^2}{2} + C} = e^C\,e^{-\frac{x^2}{2}}.
Chamando C_1 = \pm e^C como constante geral, obtemos
y = C_1\,e^{-\frac{x^2}{2}}.

Resposta

y(x) = C\,e^{-\frac{x^2}{2}},
com C constante arbitrária.

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