Resolva as equações separáveis a seguir.
\left(x^{2}+1\right) d x+\left(y^{2}+y\right) d y=0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
\bigl(x^{2}+1\bigr)\,dx \;+\;\bigl(y^{2}+y\bigr)\,dy \;=\;0.
Esse é um caso de equação separável, pois há um termo que depende só de x e outro só de y. Para resolver, vamos isolar cada variável de um lado e depois integrar.

Passo 2

Reescrevendo para separar as variáveis, obtemos
(x^{2}+1)\,dx \;=\;-\,\bigl(y^{2}+y\bigr)\,dy.
Agora cada lado depende de uma única variável, então podemos integrar ambos.

Passo 3

Integramos cada parte:
\int (x^{2}+1)\,dx = \frac{x^{3}}{3} + x,
\int (y^{2}+y)\,dy = \frac{y^{3}}{3} + \frac{y^{2}}{2}.
Como havia o sinal negativo, igualamos
\frac{x^{3}}{3} + x = -\Bigl(\frac{y^{3}}{3} + \frac{y^{2}}{2}\Bigr) + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 4

Finalmente, reunimos tudo num só lado para escrever a solução geral implícita:
\frac{x^{3}}{3} + x + \frac{y^{3}}{3} + \frac{y^{2}}{2} = C.

Resposta

\frac{x^{3}}{3} + x + \frac{y^{3}}{3} + \frac{y^{2}}{2} = C.

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