Resolva as equações.
\sqrt{25-3 x^{2}}=-x

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação
\sqrt{25-3x^{2}} = -x.
Vou listar as informações importantes que temos:
  • A expressão à esquerda é uma raiz quadrada, portanto seu valor é sempre não negativo.
  • A expressão dentro da raiz (o radicando) deve ser maior ou igual a zero para a raiz estar definida: 25-3x^{2}\ge 0.
  • A incógnita é x e o objetivo é encontrar todos os valores reais de x que satisfaçam a igualdade original.

Passo 2

Condições iniciais (domínio impostas pela raiz):
  1. Como a raiz quadrada é não negativa, a igualdade \sqrt{25-3x^{2}} = -x exige que o lado direito também seja não negativo, ou seja:
-x \ge 0 \quad\Rightarrow\quad x \le 0.
  1. O radicando deve ser não negativo:
25-3x^{2}\ge 0 \quad\Rightarrow\quad 3x^{2}\le 25 \quad\Rightarrow\quad x^{2}\le \frac{25}{3}.
Isto é equivalente a
-\frac{5}{\sqrt{3}}\le x \le \frac{5}{\sqrt{3}}.
Combinando com x\le 0, os possíveis x devem obedecer
-\frac{5}{\sqrt{3}}\le x \le 0.
Para referência numérica, \dfrac{5}{\sqrt{3}}\approx 2,887, então o intervalo é aproximadamente [-2,887,\,0].

Passo 3

Agora manipulo a equação. Uma vez garantido o domínio, posso elevar os dois lados ao quadrado (lembrando que isso pode introduzir soluções extranhas, que teremos de verificar depois):
\bigl(\sqrt{25-3x^{2}}\bigr)^{2} = (-x)^{2}.
Isso dá
25-3x^{2} = x^{2}.

Passo 4

Resolvo a equação algébrica obtida:
25-3x^{2}=x^{2}\quad\Rightarrow\quad 25 = 4x^{2}.
Dividindo por 4:
x^{2} = \frac{25}{4}.
Tomando raiz quadrada (lembrando de considerar sinal ±):
x = \pm \frac{5}{2}.

Passo 5

Agora aplico as condições do Passo 2 para eliminar soluções extranhas:
  • x=\frac{5}{2} é positivo, portanto não satisfaz x\le 0. Logo deve ser descartado.
  • x=-\frac{5}{2} é negativo e também satisfaz a condição do radicando porque \left(-\tfrac{5}{2}\right)^{2}=\tfrac{25}{4}\le \tfrac{25}{3}. Então é um candidato válido.
Faço a verificação direta na equação original para confirmar que não ficou nenhuma inconsistência:
\sqrt{25-3\left(-\tfrac{5}{2}\right)^{2}} = \sqrt{25-3\cdot \tfrac{25}{4}} = \sqrt{25-\tfrac{75}{4}} = \sqrt{\tfrac{25}{4}} = \tfrac{5}{2},
enquanto o lado direito para x=-\tfrac{5}{2} é
- x = -\left(-\tfrac{5}{2}\right)=\tfrac{5}{2}.
Como os dois lados coincidem, x=-\tfrac{5}{2} é realmente solução.

Resposta

-\dfrac{5}{2}

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