Resolva as equações.
2 \sqrt{9 x^{2}-7}=6

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação
2\sqrt{9x^{2}-7}=6.
Informações dadas:
  • A incógnita é x.
  • Há uma raiz quadrada \sqrt{\cdot} envolvendo x; isso impõe a condição interna 9x^{2}-7\ge 0.
  • A meta é encontrar todos os valores de x que satisfazem a equação original.

Passo 2

Primeiro passo prático: isolar a raiz quadrada. Como o lado direito é 6 e o coeficiente multiplicando a raiz é 2, dividimos ambos os lados por 2. Uma operação básica que preserva iguais quando dividimos por número diferente de zero:
2\sqrt{9x^{2}-7}=6 \quad\Rightarrow\quad \sqrt{9x^{2}-7}=3.

Passo 3

Agora precisamos eliminar a raiz quadrada. Para isso, elevamos ambos os lados ao quadrado. Atenção: ao elevar ambos os lados ao quadrado podemos introduzir soluções extranhas, por isso depois sempre vamos verificar as candidatas na equação original. Ao elevar:
\big(\sqrt{9x^{2}-7}\,\big)^{2}=3^{2}.
Como \big(\sqrt{A}\big)^{2}=A para A\ge0, obtemos
9x^{2}-7=9.

Passo 4

Resolver a equação resultante para x. Somando 7 em ambos os lados:
9x^{2}=16.
Dividindo por 9:
x^{2}=\frac{16}{9}.
Tomando raiz quadrada em ambos os lados, lembrando que x pode ser positivo ou negativo:
x=\pm\frac{4}{3}.

Passo 5

Verificação (essencial por causa do passo de elevar ao quadrado). Substituir cada candidato na equação original \,2\sqrt{9x^{2}-7}=6.
Para x=\frac{4}{3}:
9\left(\frac{4}{3}\right)^{2}-7=9\cdot\frac{16}{9}-7=16-7=9,
logo \sqrt{9}=3 e 2\cdot 3=6. A igualdade fica 6=6, válida.
Para x=-\frac{4}{3}:
9\left(-\frac{4}{3}\right)^{2}-7=9\cdot\frac{16}{9}-7=9,
o mesmo cálculo leva a \sqrt{9}=3 e 2\cdot3=6. Também válida.
Ambas as soluções satisfazem a condição 9x^{2}-7\ge0 e a equação original, portanto não são extranhas.

Resposta

\displaystyle x=\frac{4}{3}
\displaystyle x=-\frac{4}{3}

Exercícios relacionados