Resolva as equações.
\sqrt{2 x^{2}+7}=2 x-1

Passo 1

O enunciado pede para encontrar todos os números reais x que satisfazem a equação
\sqrt{2 x^{2}+7}=2 x-1.
Informações dadas:
  • A expressão dentro da raiz é 2x^{2}+7.
  • O lado direito da igualdade é 2x-1.
  • A pergunta é: quais valores de x tornam verdadeira essa igualdade?

Passo 2

Condição de existência e sinal: quando aparece \sqrt{\cdot} (raiz quadrada principal), o resultado é sempre um número não negativo. Portanto, para que a igualdade seja possível, o lado direito também precisa ser não negativo. Vamos verificar isso.
A condição de não negatividade do lado direito é
2x-1 \ge 0.
Resolvendo,
2x \ge 1 \quad\Rightarrow\quad x \ge \tfrac{1}{2}.
Observação sobre o radicando: \;2x^{2}+7\ge 7>0 para todo x, então o radicando não impõe restrição adicional. Assim, só precisamos considerar soluções com x\ge \tfrac{1}{2}.

Passo 3

Isolar e elevar ao quadrado: como ambos os lados agora são não negativos (no domínio considerado), podemos elevar os dois lados ao quadrado sem conflito de sinais. Ao elevar,
\left(\sqrt{2x^{2}+7}\right)^{2} = (2x-1)^{2}.
Isso gera a equação
2x^{2}+7 = (2x-1)^{2}.

Passo 4

Expandir e simplificar: calcule o quadrado do binômio no lado direito e passe tudo para um lado:
(2x-1)^{2} = 4x^{2}-4x+1,
então
2x^{2}+7 = 4x^{2}-4x+1.
Subtraindo 2x^{2}+7 de ambos os lados:
0 = 4x^{2}-4x+1 - (2x^{2}+7).
Simplificando termos semelhantes:
0 = 2x^{2}-4x-6.
Dividindo por 2:
0 = x^{2}-2x-3.

Passo 5

Resolver a quadrática: fatorando x^{2}-2x-3,
x^{2}-2x-3 = (x-3)(x+1).
Portanto as raízes são
x=3 \quad\text{e}\quad x=-1.

Passo 6

Aplicar a condição inicial ( x\ge \tfrac{1}{2}) e checar extranosas: das soluções encontradas, x=-1 não satisfaz x\ge \tfrac{1}{2}, então é descartada. A candidata x=3 satisfaz a condição; vamos checar na equação original:
Calcular o lado esquerdo para x=3:
\sqrt{2\cdot 3^{2}+7}=\sqrt{18+7}=\sqrt{25}=5.
Calcular o lado direito para x=3:
2\cdot 3-1=6-1=5.
Como os dois lados coincidem, x=3 é solução válida. Observação: o valor x=-1 seria solução da equação obtida ao quadrar ambos os lados, mas falha na equação original porque o lado direito fica negativo ( 2(-1)-1=-3) enquanto a raiz é não negativa — é um exemplo de solução extraneous gerada ao elevar ao quadrado.

Resposta

x=3

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