Resolva as equações:
\sqrt{a x^{2}+b} \cdot y^{\prime}-x y^{3}=0, \quad \text { para } a, b \in \mathbb{R}, a \neq 0

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial de primeira ordem
\sqrt{a x^{2}+b}\;y' - x\,y^{3} = 0,
com a\neq0 e pede a solução geral y(x). O conteúdo aqui é “equação separável”, isto é, vamos colocar todos os y de um lado e todos os x do outro, e integrar.

Passo 2

Isolamos y' e separamos variáveis. Escrevendo y'=\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}, temos
\sqrt{a x^{2}+b}\,\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = x\,y^{3} \quad\Longrightarrow\quad \frac{\mathrm{d}y}{y^{3}} = \frac{x}{\sqrt{a x^{2}+b}}\;\mathrm{d}x.

Passo 3

Agora integramos ambos os lados:
\int y^{-3}\,\mathrm{d}y \;=\; \int \frac{x}{\sqrt{a x^{2}+b}}\,\mathrm{d}x.

Passo 4

Calculamos cada integral separadamente.
À esquerda,
\int y^{-3}\,\mathrm{d}y = -\frac{1}{2\,y^{2}}.
À direita, usamos u = a x^{2}+b, \mathrm{d}u = 2a\,x\,\mathrm{d}x, então x\,\mathrm{d}x = \frac{\mathrm{d}u}{2a} e
\int \frac{x}{\sqrt{a x^{2}+b}}\,\mathrm{d}x = \frac{1}{2a}\int u^{-\tfrac12}\,\mathrm{d}u = \frac{1}{a}\,\sqrt{u} = \frac{1}{a}\,\sqrt{a x^{2}+b}.
Logo, juntando com a constante de integração C,
-\frac{1}{2\,y^{2}} = \frac{1}{a}\,\sqrt{a x^{2}+b} + C.

Passo 5

Isolamos y. Multiplicando por -2 e redefinindo a constante como C_{1}=-2C,
\frac{1}{y^{2}} = -\frac{2}{a}\,\sqrt{a x^{2}+b} + C_{1},
y^{2} = \frac{1}{\,C_{1} - \tfrac{2}{a}\,\sqrt{a x^{2}+b}\,} \quad\Longrightarrow\quad y = \pm \frac{1}{\sqrt{\,C_{1} - \tfrac{2}{a}\,\sqrt{a x^{2}+b}\,}}.

Resposta

y(x) = \pm \frac{1}{\sqrt{\,C_{1} - \tfrac{2}{a}\,\sqrt{a x^{2}+b}\,}},
onde C_{1} é constante arbitrária.

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