Determine e faça um esboço do domínio da seguinte função:
f(x, y)=\frac{2 y-3}{\sqrt{y^{2}-x^{2}}}+\ln (x+1).

Passo 1

O enunciado pede o domínio de
f(x,y)=\frac{2y-3}{\sqrt{y^{2}-x^{2}}}+\ln(x+1).
Aqui vamos aplicar as condições de existência de uma raiz quadrada no denominador (radicando estritamente positivo) e de um logaritmo natural (argumento positivo).

Passo 2

Para que \ln(x+1) exista, é necessário
x+1>0\quad\Longrightarrow\quad x>-1.

Passo 3

Para que a raiz \sqrt{y^{2}-x^{2}} seja real e não nula (denominador \neq 0), precisamos de
y^{2}-x^{2}>0\quad\Longrightarrow\quad |y|>|x|.
Isto significa que (x,y) está fora do cone delimitado pelas retas y=x e y=-x.

Passo 4

Combinando as duas condições, o domínio D é
D=\bigl\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\;\bigm|\;x>-1\\ \text{e}\\ |y|>|x|\bigr\}.
Em outras palavras, para cada x>-1 temos duas faixas abertas em y:
  1. y>|x|
  2. y<-|x|.

Passo 5

Esboço do domínio:
  • Trace a reta vertical x=-1 (não inclusa) e as retas y=x, y=-x.
  • O domínio fica à direita de x=-1 e nas regiões fora do “cone” formado por y=\pm x, isto é, acima da reta y=x ou abaixo da reta y=-x.

Resposta

D=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid x>-1,\\ |y|>|x|\}.

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