Resolva as equações.
\sqrt{8 x+25}-2=3-4 x

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação
\sqrt{8x+25}-2=3-4x.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • A incógnita é x.
  • A expressão dentro da raiz quadrada é 8x+25.
  • A raiz quadrada usada é a raiz principal, portanto o valor de \sqrt{8x+25} é sempre não negativo (ou seja, \sqrt{8x+25}\ge0).
  • É necessário encontrar todos os valores de x que tornam verdadeira a igualdade acima.

Passo 2

Primeira manipulação algebraica (isolar a raiz), movendo -2 para o outro lado:
\sqrt{8x+25}=3-4x+2.
Somando 3 e 2 no lado direito:
\sqrt{8x+25}=5-4x.

Passo 3

Condições de existência e consistência antes de seguir:
  • Para que a raiz exista (radicando não negativo) é preciso
8x+25\ge0 \quad\Rightarrow\quad x\ge-\frac{25}{8}.
  • Além disso, o lado direito \,5-4x, deve ser não negativo, porque corresponde a \sqrt{8x+25}, então
5-4x\ge0 \quad\Rightarrow\quad x\le\frac{5}{4}.
Logo, qualquer solução possível deve satisfazer
-\frac{25}{8}\le x\le\frac{5}{4}.
(Isto evita soluções que seriam matematicamente impossíveis antes de elevar ao quadrado.)

Passo 4

Agora elevamos os dois lados ao quadrado para eliminar a raiz. Atenção: elevar ao quadrado pode introduzir soluções extranhas, por isso depois será preciso verificar as soluções obtidas na equação original.
(\sqrt{8x+25})^2=(5-4x)^2.
Isso dá
8x+25=(5-4x)^2.

Passo 5

Expandir o quadrado no lado direito:
(5-4x)^2=25-40x+16x^2.
Substituindo:
8x+25=25-40x+16x^2.
Passar tudo para um lado (subtrair 8x+25 dos dois lados):
0=25-40x+16x^2 -8x -25.
Simplificar (os 25 cancelam):
0=16x^2 -48x.
Fatorando:
0=16x(x-3).
Portanto as soluções da equação quadrática são
x=0 \quad\text{ou}\quad x=3.

Passo 6

Verificação das raízes na equação original (passo obrigatório para eliminar extranos):
  • Para x=0:
\text{LHS}=\sqrt{8\cdot0+25}-2=\sqrt{25}-2=5-2=3,
\text{RHS}=3-4\cdot0=3.
Como \text{LHS}=\text{RHS}=3, x=0 satisfaz a equação original.
  • Para x=3:
\text{LHS}=\sqrt{8\cdot3+25}-2=\sqrt{24+25}-2=\sqrt{49}-2=7-2=5,
\text{RHS}=3-4\cdot3=3-12=-9.
Como \text{LHS}=5\neq-9=\text{RHS}, x=3 não satisfaz a equação original (é solução extranha introduzida pelo quadrado). Além disso, x=3 violava a condição x\le\frac{5}{4} encontrada no Passo 3.

Resposta

x=0

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