Resolva as equações.
\sqrt{4 x+4}-x+2=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação
\sqrt{4x+4}-x+2=0.
Informações relevantes que o enunciado dá:
  • Há uma raiz quadrada, então a expressão dentro dela precisa ser definida: \,4x+4 deve ser maior ou igual a zero.
  • A incógnita é x e queremos todos os valores reais x que satisfaçam a equação.

Passo 2

Determinar o domínio (condição necessária para a equação fazer sentido):
4x+4 \ge 0 \quad\Rightarrow\quad 4(x+1)\ge0 \quad\Rightarrow\quad x+1\ge0 \quad\Rightarrow\quad x\ge -1.
Portanto apenas x\ge -1 podem ser candidatos. Além disso, como o lado esquerdo contém \sqrt{4x+4}, que é sempre não negativo, quando isolarmos a raiz o outro membro deve ser não negativo também — isso será usado no próximo passo.

Passo 3

Isolar a raiz e usar a observação sobre sinal:
\sqrt{4x+4}-x+2=0 \quad\Longrightarrow\quad \sqrt{4x+4}=x-2.
Como o membro esquerdo é \ge0, é necessário também que o membro direito satisfaça
x-2 \ge 0 \quad\Rightarrow\quad x\ge 2.
Combina-se com o domínio x\ge -1; a condição mais restritiva é x\ge2. Assim qualquer solução válida deve satisfazer x\ge2.

Passo 4

Agora podemos eliminar a raiz elevando ambos os lados ao quadrado. Antes de fazer isso, uma observação teórica rápida: ao elevar uma equação com raízes ao quadrado podemos introduzir raízes extranhas (soluções que satisfazem a equação quadrada obtida mas não a original). Por isso é obrigatório checar as soluções finais na equação inicial.
Elevar ao quadrado:
\big(\sqrt{4x+4}\big)^2=(x-2)^2.
Isso dá
4x+4 = (x-2)^2.

Passo 5

Desenvolver o quadrado e resolver a equação resultante:
(x-2)^2 = x^2 - 4x + 4.
Logo
4x+4 = x^2 -4x +4.
Subtrair 4x+4 dos dois lados:
0 = x^2 -4x +4 - (4x+4) = x^2 -8x +0 = x^2 -8x.
Fatorando:
x^2 -8x = x(x-8)=0.
Portanto as soluções da equação quadrada são
x=0 \quad\text{ou}\quad x=8.

Passo 6

Aplicar a restrição que encontramos em

Passo 7

  • x=0 não satisfaz x\ge2, portanto é descartada (seria uma solução extranha introduzida ao quadrar).
  • x=8 satisfaz x\ge2, permanece como candidato.

Passo 8

Verificação final: substituir x=8 na equação original para garantir que realmente funciona:
\sqrt{4\cdot 8 + 4} - 8 + 2 = \sqrt{32+4}-6 = \sqrt{36}-6 = 6-6 = 0.
A igualdade é verdadeira, logo x=8 é solução válida.

Resposta

x=8

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