Resolva as equações.
\sqrt{3 x+4}=8

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação
\sqrt{3x+4}=8.
Informações fornecidas:
  • A equação envolve uma raiz quadrada principal \sqrt{\cdot}.
  • Quer-se encontrar todos os valores de x que satisfazem essa igualdade.

Passo 2

Primeiro lembrete importante sobre domínio: a expressão dentro da raiz precisa ser não negativa, porque a raiz quadrada principal só está definida para argumentos \ge 0. Portanto devemos ter
3x+4 \ge 0.
Resolvendo essa desigualdade obtemos a condição inicial sobre x:
3x \ge -4 \quad\Rightarrow\quad x \ge -\dfrac{4}{3}.
Qualquer solução que vier depois precisa satisfazer essa condição.

Passo 3

Método: a raiz já está isolada do lado esquerdo, o que facilita — podemos elevar os dois lados ao quadrado para eliminar a raiz. Antes disso, um ponto conceitual: ao elevar ambos os lados de uma igualdade ao quadrado pode-se introduzir soluções extranhas em geral, mas aqui não há problema porque o lado esquerdo \sqrt{3x+4} é não negativo por definição e o lado direito 8 também é não negativo; portanto a operação de elevar ao quadrado preserva a equivalência da igualdade neste caso.

Passo 4

Elevo ao quadrado ambos os lados:
\left(\sqrt{3x+4}\right)^2 = 8^2.
Isso simplifica para
3x+4 = 64.

Passo 5

Agora é só resolver a equação linear que ficou. Subtraindo 4 de ambos os lados:
3x = 64-4 = 60.
Dividindo por 3:
x = \dfrac{60}{3} = 20.

Passo 6

Verificação (sempre importante na prova): verificar que a solução respeita o domínio e a equação original.
  • Domínio: 20 \ge -\dfrac{4}{3} — ok.
  • Substituindo na equação original:
\sqrt{3\cdot 20 + 4} = \sqrt{60+4} = \sqrt{64} = 8,
o que confirma que x=20 satisfaz a equação.

Passo 7

Comentário didático curto e exemplo extra para fixar: o procedimento padrão para equações do tipo \sqrt{ax+b}=c (com c\ge 0) é
  1. exigir ax+b\ge 0 (domínio),
  2. elevar ambos os lados ao quadrado,
  3. resolver a equação resultante e
  4. checar as soluções no original. Exemplo rápido: \sqrt{2x-1}=3 leva a 2x-1=9, 2x=10, x=5 e verifica-se \sqrt{2\cdot5-1}=\sqrt{9}=3.

Resposta

x=20

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