Resolva as equações:
t^{2} y^{\prime \prime}-3 t y^{\prime}+4 y=t^{2}, t>0 onde y_{1}(t)=t^{2} e y_{2}(t)=t^{2} \ln t formam um conjunto fundamental de soluções da homogênea associada.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
t^{2}y''-3t y'+4y=t^{2},\qquad t>0,
e informa que duas soluções fundamentais da equação homogênea associada são
y_{1}(t)=t^{2}\quad\text{e}\quad y_{2}(t)=t^{2}\ln t.
O que nos pede é encontrar a solução geral da equação não-homogênea (ou seja, uma expressão de y(t) que satisfaça a equação para t>0). Todas as informações relevantes estão acima: a equação, o domínio t>0 e as duas soluções independentes da homogênea.

Passo 2

Primeiro colocamos a equação em forma padrão (dividindo por t^{2}, que é permitido pois t>0):
y''-\frac{3}{t}y'+\frac{4}{t^{2}}y=1.
Aqui a parte homogênea é y''-\dfrac{3}{t}y'+\dfrac{4}{t^{2}}y=0 e a função não-homogênea (termo forçante) é g(t)=1. Colocar em forma padrão é útil porque as fórmulas de variação de parâmetros usam essa forma.

Passo 3

Escolhemos o método de variação de parâmetros porque já nos deram um conjunto fundamental \{y_{1},y_{2}\} da homogênea — é justamente o cenário em que variação de parâmetros é direto e eficiente. A ideia é buscar uma solução particular da forma
y_{p}(t)=u_{1}(t)\,y_{1}(t)+u_{2}(t)\,y_{2}(t),
onde u_{1} e u_{2} são funções a determinar. Impomos as condições
u_{1}'(t)y_{1}(t)+u_{2}'(t)y_{2}(t)=0
e
u_{1}'(t)y_{1}'(t)+u_{2}'(t)y_{2}'(t)=g(t)=1,
que formam um sistema linear para u_{1}' e u_{2}'. As fórmulas fechadas são
u_{1}'(t)=-\frac{g(t)\,y_{2}(t)}{W(t)},\qquad u_{2}'(t)=\frac{g(t)\,y_{1}(t)}{W(t)},
onde W(t) é o wronskiano de y_{1},y_{2}:
W(t)=\begin{vmatrix} y_{1}(t) & y_{2}(t)\\[4pt] y_{1}'(t) & y_{2}'(t)\end{vmatrix}.]

Passo 4

Calculamos o wronskiano com y_{1}=t^{2} e y_{2}=t^{2}\ln t.
Primeiro as derivadas:
y_{1}'(t)=2t,\qquad y_{2}'(t)=\frac{d}{dt}\big(t^{2}\ln t\big)=2t\ln t+t.
Agora o wronskiano:
W(t)=t^{2}\big(2t\ln t+t\big)-\big(t^{2}\ln t\big)\cdot(2t) = t^{2}\big(2t\ln t+t-2t\ln t\big)=t^{3}.
Como t>0, temos W(t)=t^{3}\neq0, confirmando independência linear.
Usando as fórmulas (com g(t)=1):
u_{1}'(t)=-\frac{y_{2}(t)}{W(t)}=-\frac{t^{2}\ln t}{t^{3}}=-\frac{\ln t}{t},
u_{2}'(t)=\frac{y_{1}(t)}{W(t)}=\frac{t^{2}}{t^{3}}=\frac{1}{t}.
Integramos para obter u_{1} e u_{2}. Como estamos construindo uma solução particular, podemos escolher as constantes de integração iguais a zero (elas seriam absorvidas pela solução homogênea):
u_{1}(t)=\int -\frac{\ln t}{t}\,dt=-\frac{1}{2}(\ln t)^{2},
pois \displaystyle\int\frac{\ln t}{t}\,dt=\frac{1}{2}(\ln t)^{2}.
u_{2}(t)=\int \frac{1}{t}\,dt=\ln t.

Passo 5

Montamos a solução particular:
y_{p}(t)=u_{1}(t)y_{1}(t)+u_{2}(t)y_{2}(t) =-\frac{1}{2}(\ln t)^{2}\cdot t^{2}+(\ln t)\cdot t^{2}\ln t.
Simplificando os termos com (\ln t)^{2}:
y_{p}(t)=-\frac{1}{2}t^{2}(\ln t)^{2}+t^{2}(\ln t)^{2}=\frac{1}{2}t^{2}(\ln t)^{2}.
(Fazendo um chequinho rápido: se derivarmos y_{p} e substituirmos em t^{2}y''-3ty'+4y obtemos exatamente t^{2}, então y_{p} é de fato uma solução particular.)

Passo 6

A solução geral é a soma da solução geral da homogênea (combinação linear de y_{1},y_{2}) com a particular y_{p}:
y(t)=C_{1}t^{2}+C_{2}t^{2}\ln t+\frac{1}{2}t^{2}(\ln t)^{2},
onde C_{1},C_{2} são constantes arbitrárias.

Resposta

y(t)=C_{1}t^{2}+C_{2}t^{2}\ln t+\frac{1}{2}t^{2}(\ln t)^{2}

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