Resolva as equações: t^{2} y^{\prime \prime}-3 t y^{\prime}+4 y=t^{2}, t>0 onde y_{1}(t)=t^{2} e y_{2}(t)=t^{2} \ln t formam um conjunto fundamental de soluções da homogênea associada.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
t^{2}y''-3t y'+4y=t^{2},\qquad t>0,
e informa que duas soluções fundamentais da equação homogênea associada são
y_{1}(t)=t^{2}\quad\text{e}\quad y_{2}(t)=t^{2}\ln t.
O que nos pede é encontrar a solução geral da equação não-homogênea (ou seja, uma expressão de y(t) que satisfaça a equação para t>0). Todas as informações relevantes estão acima: a equação, o domínio t>0 e as duas soluções independentes da homogênea.
Passo 2
Primeiro colocamos a equação em forma padrão (dividindo por t^{2}, que é permitido pois t>0):
y''-\frac{3}{t}y'+\frac{4}{t^{2}}y=1.
Aqui a parte homogênea é y''-\dfrac{3}{t}y'+\dfrac{4}{t^{2}}y=0 e a função não-homogênea (termo forçante) é g(t)=1. Colocar em forma padrão é útil porque as fórmulas de variação de parâmetros usam essa forma.
Passo 3
Escolhemos o método de variação de parâmetros porque já nos deram um conjunto fundamental \{y_{1},y_{2}\} da homogênea — é justamente o cenário em que variação de parâmetros é direto e eficiente. A ideia é buscar uma solução particular da forma
y_{p}(t)=u_{1}(t)\,y_{1}(t)+u_{2}(t)\,y_{2}(t),
onde u_{1} e u_{2} são funções a determinar. Impomos as condições
u_{1}'(t)y_{1}(t)+u_{2}'(t)y_{2}(t)=0
e
u_{1}'(t)y_{1}'(t)+u_{2}'(t)y_{2}'(t)=g(t)=1,
que formam um sistema linear para u_{1}' e u_{2}'. As fórmulas fechadas são
Integramos para obter u_{1} e u_{2}. Como estamos construindo uma solução particular, podemos escolher as constantes de integração iguais a zero (elas seriam absorvidas pela solução homogênea):
(Fazendo um chequinho rápido: se derivarmos y_{p} e substituirmos em t^{2}y''-3ty'+4y obtemos exatamente t^{2}, então y_{p} é de fato uma solução particular.)
Passo 6
A solução geral é a soma da solução geral da homogênea (combinação linear de y_{1},y_{2}) com a particular y_{p}: