Resolva os PVI:
y^{\prime \prime}+y=0, y(0)=0 y^{\prime}(0)=2

Passo 1

O enunciado pede encontrar a função y(x) que satisfaz as duas condições dadas e a equação diferencial. Informações fornecidas:
  • Equação diferencial: y''+y=0.
  • Condições iniciais: y(0)=0,\qquad y'(0)=2.
O objetivo é determinar a função y(x) que satisfaz a equação e as condições iniciais.

Passo 2

Ideia do método (explicação didática): procuramos soluções da forma y(x)=e^{rx}, porque derivadas de exponenciais são proporcionais à própria exponencial e isso transforma a equação diferencial em uma equação algébrica para r. Substituindo y=e^{rx} em y''+y=0 obtemos a equação característica:
r^{2}+1=0.
Aqui r é um número (possivelmente complexo) que será a raiz dessa equação algébrica. Resolver a equação característica nos dá os possíveis expoentes r que produzem soluções da forma exponencial.

Passo 3

Resolver a equação característica: r^{2}+1=0 \implies r^{2}=-1 \implies r=\pm i,
ou seja, temos raízes complexas conjugadas r_1=i e r_2=-i. Quando as raízes são \pm i, as soluções reais independentes construídas a partir das exponenciais complexas são \cos x e \sin x. Isto vem da fórmula de Euler, que diz que e^{ix}=\cos x + i\sin x; combinando as partes real e imaginária obtemos soluções reais. Portanto a solução geral real da equação é
y(x)=C_{1}\cos x + C_{2}\sin x,
onde C_{1} e C_{2} são constantes reais a determinar pelas condições iniciais. Explicando as incógnitas: C_{1} e C_{2} representam coeficientes lineares que combinam as duas soluções independentes \cos x e \sin x; qualquer solução real da equação homogênea pode ser escrita assim.

Passo 4

Calcular a derivada de y(x) para usar a condição inicial envolvendo y'. Derivando termo a termo:
y'(x) = \frac{d}{dx}\big(C_{1}\cos x + C_{2}\sin x\big) = -C_{1}\sin x + C_{2}\cos x.
Agora avalio y e y' em x=0:
y(0)=C_{1}\cos 0 + C_{2}\sin 0 = C_{1}\cdot 1 + C_{2}\cdot 0 = C_{1},
y'(0)=-C_{1}\sin 0 + C_{2}\cos 0 = -C_{1}\cdot 0 + C_{2}\cdot 1 = C_{2}.
Portanto as condições iniciais se traduzem em:
C_{1}=y(0)=0,\qquad C_{2}=y'(0)=2.

Passo 5

Substituo os valores de C_{1} e C_{2} na solução geral. Isso dá:
y(x)=0\cdot\cos x + 2\cdot\sin x = 2\sin x.

Passo 6

Verificação rápida (útil na prova): calculo y'' e testo a equação e as condições iniciais. Como y(x)=2\sin x,
y'(x)=2\cos x,\qquad y''(x)=-2\sin x.
Então y''+y = -2\sin x + 2\sin x = 0, satisfazendo a equação. E y(0)=2\sin 0=0,\; y'(0)=2\cos 0=2, logo as condições iniciais também são satisfeitas. Tudo confere.

Resposta

y(x)=2\sin x

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