Resolva os PVI:
Passo 1
O enunciado pede encontrar a função
que satisfaz as duas condições dadas e a equação diferencial. Informações fornecidas:
- Equação diferencial:
- Condições iniciais:
O objetivo é determinar a função
que satisfaz a equação e as condições iniciais.
Passo 2
Ideia do método (explicação didática): procuramos soluções da forma
, porque derivadas de exponenciais são proporcionais à própria exponencial e isso transforma a equação diferencial em uma equação algébrica para
. Substituindo
em
obtemos a equação característica:
Aqui
é um número (possivelmente complexo) que será a raiz dessa equação algébrica. Resolver a equação característica nos dá os possíveis expoentes
que produzem soluções da forma exponencial.
Passo 3
Resolver a equação característica:
ou seja, temos raízes complexas conjugadas
e
. Quando as raízes são
, as soluções reais independentes construídas a partir das exponenciais complexas são
e
. Isto vem da fórmula de Euler, que diz que
; combinando as partes real e imaginária obtemos soluções reais. Portanto a solução geral real da equação é
onde
e
são constantes reais a determinar pelas condições iniciais. Explicando as incógnitas:
e
representam coeficientes lineares que combinam as duas soluções independentes
e
; qualquer solução real da equação homogênea pode ser escrita assim.
Passo 4
Calcular a derivada de
para usar a condição inicial envolvendo
. Derivando termo a termo:
Agora avalio
e
em
:
Portanto as condições iniciais se traduzem em:
Passo 5
Substituo os valores de
e
na solução geral. Isso dá:
Passo 6
Verificação rápida (útil na prova): calculo
e testo a equação e as condições iniciais. Como
,
Então
satisfazendo a equação. E
, logo as condições iniciais também são satisfeitas. Tudo confere.