Resolva as equações:
y^{\prime \prime}-y^{\prime}-2 y=(t+1) e^{t}

Passo 1

Temos que resolver a equação diferencial
y''-y'-2y=(t+1)e^{t}.
O que o enunciado dá:
\text{(i) a equação linear de ordem 2 com coeficientes constantes }y''-y'-2y=(t+1)e^{t}.çã
\text{(ii) o segundo membro é }(t+1)e^{t}\text{, isto é, um polinômio de grau }1\text{ multiplicado por }e^{t}.ééô
O que se pede:
\text{encontrar a solução geral }y(t)\text{ da equação.}çãçã

Passo 2

Primeiro achamos a solução geral da equação homogênea associada (ou seja, com o lado direito zero):
y''-y'-2y=0.
Explicação didática: para equações lineares com coeficientes constantes é padrão tentar soluções da forma y=e^{rt}, porque derivadas preservam a exponencial. Substituindo y=e^{rt} obtemos a equação característica
r^{2}-r-2=0.
Resolvendo:
r^{2}-r-2=(r-2)(r+1)=0,
logo as raízes são r=2 e r=-1. Como as raízes são reais e distintas, a solução geral da homogênea é
y_{h}(t)=C_{1}e^{2t}+C_{2}e^{-t},
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias.

Passo 3

Agora precisamos de uma solução particular y_{p}(t) que satisfaça a equação completa. Explicação do método usado: como o segundo membro é da forma polinômio vezes exponencial, o método das coeficientes indeterminados é apropriado. A regra prática diz: se o segundo membro é P_{m}(t)e^{\alpha t} (polinômio de grau m vezes e^{\alpha t}), tentamos uma solução particular do tipo um polinômio de grau m vezes e^{\alpha t}, multiplicado por t^{s}, onde s é a multiplicidade da raiz \alpha na equação característica. Aqui o segundo membro é (t+1)e^{t}, ou seja \alpha=1 e grau m=1. Verificamos se \alpha=1 é raiz da característica: as raízes eram 2 e -1, portanto 1 não é raiz. Logo s=0 e podemos tomar o palpite
y_{p}(t)=(a t+b)e^{t},
onde a e b são constantes a determinar.

Passo 4

Calculamos as derivadas de y_{p} usando a regra do produto. Escrevo passo a passo para você poder reproduzir na prova sem errar.
Defina u(t)=a t+b, assim y_{p}=u e^{t}.
Derivadas:
u'(t)=a.
y_{p}'=u' e^{t}+u e^{t}=(a+u)e^{t}=(a+at+b)e^{t}=(a t+(a+b))e^{t}.
y_{p}''=\frac{d}{dt}\big((a t+(a+b))e^{t}\big)=a e^{t}+(a t+(a+b))e^{t}=(a t+(2a+b))e^{t}.

Passo 5

Substituímos y_{p}, y_{p}' e y_{p}'' no lado esquerdo da equação y''-y'-2y:
y_{p}''-y_{p}'-2y_{p}=\big((a t+(2a+b))-(a t+(a+b))-2(at+b)\big)e^{t}.
Agora simplificamos o que está entre parênteses. Primeiro o termo que multiplica t:
\text{coeficiente de }t: \; a - a - 2a = -2a.
Coeficiente constante:
(2a+b) - (a+b) - 2b = 2a+b-a-b-2b = a-2b.
Portanto
y_{p}''-y_{p}'-2y_{p}=(-2a\,t+(a-2b))e^{t}.
Queremos que isso seja igual ao segundo membro (t+1)e^{t}. Como e^{t} é comum, igualamos coeficientes do polinômio:
-2a = 1,
a-2b = 1.
Resolvendo:
a = -\frac{1}{2}.
Substituindo na segunda equação:
-\frac{1}{2}-2b=1 \implies -2b=1+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}\implies b=-\frac{3}{4}.

Passo 6

Temos a solução particular encontrada:
y_{p}(t)=\left(-\frac{1}{2}t-\frac{3}{4}\right)e^{t}.
A solução geral da equação completa é a soma da solução homogênea com a particular:
y(t)=y_{h}(t)+y_{p}(t)=C_{1}e^{2t}+C_{2}e^{-t}+\left(-\frac{1}{2}t-\frac{3}{4}\right)e^{t}.
Posso reescrever de maneira mais limpa:
y(t)=C_{1}e^{2t}+C_{2}e^{-t}-\left(\frac{1}{2}t+\frac{3}{4}\right)e^{t}.

Resposta

y(t)=C_{1}e^{2t}+C_{2}e^{-t}-\left(\frac{1}{2}t+\frac{3}{4}\right)e^{t}

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