Resolva as equações:
Passo 1
Temos que resolver a equação diferencial
O que o enunciado dá:
O que se pede:
Passo 2
Primeiro achamos a solução geral da equação homogênea associada (ou seja, com o lado direito zero):
Explicação didática: para equações lineares com coeficientes constantes é padrão tentar soluções da forma
, porque derivadas preservam a exponencial. Substituindo
obtemos a equação característica
Resolvendo:
logo as raízes são
e
. Como as raízes são reais e distintas, a solução geral da homogênea é
onde
e
são constantes arbitrárias.
Passo 3
Agora precisamos de uma solução particular
que satisfaça a equação completa. Explicação do método usado: como o segundo membro é da forma polinômio vezes exponencial, o método das coeficientes indeterminados é apropriado. A regra prática diz: se o segundo membro é
(polinômio de grau
vezes
), tentamos uma solução particular do tipo um polinômio de grau
vezes
, multiplicado por
, onde
é a multiplicidade da raiz
na equação característica. Aqui o segundo membro é
, ou seja
e grau
. Verificamos se
é raiz da característica: as raízes eram
e
, portanto
não é raiz. Logo
e podemos tomar o palpite
onde
e
são constantes a determinar.
Passo 4
Calculamos as derivadas de
usando a regra do produto. Escrevo passo a passo para você poder reproduzir na prova sem errar.
Defina
, assim
.
Derivadas:
Passo 5
Substituímos
,
e
no lado esquerdo da equação
:
Agora simplificamos o que está entre parênteses. Primeiro o termo que multiplica
:
Coeficiente constante:
Portanto
Queremos que isso seja igual ao segundo membro
. Como
é comum, igualamos coeficientes do polinômio:
Resolvendo:
Substituindo na segunda equação:
Passo 6
Temos a solução particular encontrada:
A solução geral da equação completa é a soma da solução homogênea com a particular:
Posso reescrever de maneira mais limpa: