Resolva as equações.
(a) t y^{\prime}+y=3 t \cos (3 t), \quad t>0.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
t\,y'(t)+y(t)=3t\cos(3t),\qquad t>0,
e pede para encontrar a solução geral y(t) definida para t>0.
Informações relevantes do enunciado:
  • A incógnita é a função y(t).
  • A equação é válida apenas para t>0 (isso permite dividir por t sem problemas).
  • Não foi dada condição inicial, então devemos obter a solução geral com uma constante arbitrária.

Passo 2

Colocar a equação na forma padrão de uma equação diferencial linear de primeira ordem. Como t>0, dividimos ambos os lados por t para obter
y'(t)+\frac{1}{t}\,y(t)=3\cos(3t).
Aqui a equação está na forma
y'(t)+P(t)\,y(t)=Q(t),
com P(t)=\dfrac{1}{t} e Q(t)=3\cos(3t).

Passo 3

Explicar o método do fator integrante (integrating factor) de forma direta e intuitiva. A ideia é multiplicar a equação por uma função \mu(t) tal que o lado esquerdo vire a derivada do produto \mu(t)y(t). Precisamos de \mu satisfazendo
\frac{d}{dt}\big(\mu(t)y(t)\big)=\mu(t)y'(t)+\mu'(t)y(t).
Comparando com \mu(t)\big(y'(t)+P(t)y(t)\big) exige-se que \mu'(t)=\mu(t)P(t). Isso leva à definição
\mu(t)=\exp\!\Big(\int P(t)\,dt\Big).
Depois de multiplicar por \mu(t), a equação se integra diretamente.

Passo 4

Calcular o fator integrante para P(t)=\dfrac{1}{t}:
\mu(t)=\exp\!\Big(\int \frac{1}{t}\,dt\Big)=\exp(\ln t)=t,
onde foi usada a hipótese t>0 para que \ln t esteja bem definida. (Constantes multiplicativas em \mu não alteram a solução, então esta escolha é suficiente.)

Passo 5

Multiplicar a equação na forma padrão por \mu(t)=t. Fazendo isso obtemos
t\big(y'(t)+\frac{1}{t}y(t)\big)=t\cdot 3\cos(3t),
isto é,
t\,y'(t)+y(t)=3t\cos(3t).
Reconhece-se que o lado esquerdo é a derivada do produto:
\frac{d}{dt}\big(t\,y(t)\big)=3t\cos(3t).

Passo 6

Integrar ambos os lados em relação a t:
t\,y(t)=\int 3t\cos(3t)\,dt + C,
onde C é a constante de integração (constante arbitrária).

Passo 7

Calcular a integral \displaystyle\int 3t\cos(3t)\,dt por partes. Escolhendo
u=t\quad\Rightarrow\quad du=dt, \qquad dv=3\cos(3t)\,dt\quad\Rightarrow\quad v=\sin(3t)
(já que \dfrac{d}{dt}\sin(3t)=3\cos(3t)). Pela fórmula de integração por partes,
\int 3t\cos(3t)\,dt = uv-\int v\,du = t\sin(3t)-\int\sin(3t)\,dt.
Agora \displaystyle\int\sin(3t)\,dt=-\frac{1}{3}\cos(3t). Substituindo:
\int 3t\cos(3t)\,dt = t\sin(3t)-\Big(-\frac{1}{3}\cos(3t)\Big) = t\sin(3t)+\frac{1}{3}\cos(3t)+\text{const}.

Passo 8

Voltar à expressão para t\,y(t) usando o resultado da integral:
t\,y(t)=t\sin(3t)+\frac{1}{3}\cos(3t)+C.
Dividindo por t (lembrando t>0) obtemos a solução geral:
y(t)=\sin(3t)+\frac{1}{3t}\cos(3t)+\frac{C}{t},
onde C é a constante arbitrária real.

Passo 9

Interpretação rápida da solução (útil para prova): a solução geral é soma da solução particular y_p(t)=\sin(3t)+\dfrac{1}{3t}\cos(3t) com a solução geral da homogênea y_h(t)=\dfrac{C}{t}, que resolve y'+\dfrac{1}{t}y=0. Esta decomposição é típica para equações lineares de primeira ordem.

Resposta

y(t)=\sin(3t)+\dfrac{1}{3t}\cos(3t)+\dfrac{C}{t}

Exercícios relacionados