Resolva as equações.
(a)
(a)
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e pede para encontrar a solução geral
definida para
.
Informações relevantes do enunciado:
- A incógnita é a função
. - A equação é válida apenas para
(isso permite dividir por sem problemas). - Não foi dada condição inicial, então devemos obter a solução geral com uma constante arbitrária.
Passo 2
Colocar a equação na forma padrão de uma equação diferencial linear de primeira ordem. Como
, dividimos ambos os lados por
para obter
Aqui a equação está na forma
com
e
.
Passo 3
Explicar o método do fator integrante (integrating factor) de forma direta e intuitiva. A ideia é multiplicar a equação por uma função
tal que o lado esquerdo vire a derivada do produto
. Precisamos de
satisfazendo
Comparando com
exige-se que
. Isso leva à definição
Depois de multiplicar por
, a equação se integra diretamente.
Passo 4
Calcular o fator integrante para
:
onde foi usada a hipótese
para que
esteja bem definida. (Constantes multiplicativas em
não alteram a solução, então esta escolha é suficiente.)
Passo 5
Multiplicar a equação na forma padrão por
. Fazendo isso obtemos
isto é,
Reconhece-se que o lado esquerdo é a derivada do produto:
Passo 6
Integrar ambos os lados em relação a
:
onde
é a constante de integração (constante arbitrária).
Passo 7
Calcular a integral
por partes. Escolhendo
(já que
). Pela fórmula de integração por partes,
Agora
. Substituindo:
Passo 8
Voltar à expressão para
usando o resultado da integral:
Dividindo por
(lembrando
) obtemos a solução geral:
onde
é a constante arbitrária real.
Passo 9
Interpretação rápida da solução (útil para prova): a solução geral é soma da solução particular
com a solução geral da homogênea
, que resolve
. Esta decomposição é típica para equações lineares de primeira ordem.