Qual é o comprimento da sombra de uma árvore de 5 m de altura quando o sol está 30 ㅇacima do horizonte? Dado 3=1,73

Passo 1

O que o problema pede e o que é dado.
  • Pedido: encontrar o comprimento da sombra de uma árvore de altura 5\\ \text{m} quando o Sol está a 30^\circ acima do horizonte.
  • Dados: altura da árvore =5\\ \text{m} e foi dado \sqrt{3}=1,73.
  • Informação implícita: podemos modelar a situação como um triângulo retângulo formado pela altura da árvore, pela sombra no solo e pela reta de luz do Sol.

Passo 2

Modelagem geométrica e definição das incógnitas.
  • Desenhar mentalmente (ou rápido no rascunho): a árvore vertical de altura h e sua sombra horizontal de comprimento L. A luz do Sol forma com o solo um ângulo \theta igual a 30^\circ.
  • Definir variáveis:
    • h = altura da árvore (no nosso caso h=5\\ \text{m}),
    • L = comprimento da sombra (incógnita que queremos achar),
    • \theta = ângulo de elevação do Sol (no nosso caso \theta=30^\circ).
  • Observação: o triângulo formado é retângulo, com h sendo o cateto oposto a \theta e L sendo o cateto adjacente a \theta.

Passo 3

Relação trigonométrica que liga h, L e \theta.
  • Definição do seno, cosseno e tangente em um triângulo retângulo: a tangente do ângulo \theta é a razão entre o cateto oposto e o cateto adjacente.
  • Em símbolos:
\tan(\theta)=\frac{\text{cateto oposto}}{\text{cateto adjacente}}=\frac{h}{L}.
  • Isolando L:
L=\frac{h}{\tan(\theta)}.

Passo 4

Valor de \tan(30^\circ).
  • Use um triângulo especial 30^\circ\!-\!60^\circ\!-\!90^\circ: os lados estão em proporção 1:\sqrt{3}:2, onde o lado oposto a 30^\circ vale 1, o lado oposto a 60^\circ vale \sqrt{3} e a hipotenusa vale 2.
  • Para \theta=30^\circ, o cateto oposto vale 1 e o adjacente vale \sqrt{3}. Portanto
\tan(30^\circ)=\frac{1}{\sqrt{3}}.

Passo 5

Calcular L simbolicamente e em número usando \sqrt{3}=1,73.
  • Substituindo na fórmula do Passo 3:
L=\frac{h}{\tan(30^\circ)}=\frac{h}{1/\sqrt{3}}=h\sqrt{3}.
  • Como h=5\\ \text{m}, então
L=5\sqrt{3}\\ \text{m}.
  • Usando o valor dado \sqrt{3}=1,73,
L=5\times 1,73 = 8,65\\ \text{m}.

Passo 6

Interpretação final e dica rápida.
  • Resultado exato: L=5\sqrt{3}\\ \text{m}.
  • Resultado numérico com a aproximação fornecida: L\approx 8,65\\ \text{m}.
  • Dica para a prova: ao ver “ângulo do Sol”, sempre pense em triângulo retângulo e relacione altura/sombra com \tan.

Resposta

L=5\sqrt{3}\\ \text{m}\approx 8,65\\ \text{m}

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