Qual é o comprimento da sombra de uma árvore de 5 m de altura quando o sol está 30 ㅇacima do horizonte? Dado
Passo 1
O que o problema pede e o que é dado.
- Pedido: encontrar o comprimento da sombra de uma árvore de altura
quando o Sol está a acima do horizonte. - Dados: altura da árvore
e foi dado . - Informação implícita: podemos modelar a situação como um triângulo retângulo formado pela altura da árvore, pela sombra no solo e pela reta de luz do Sol.
Passo 2
Modelagem geométrica e definição das incógnitas.
- Desenhar mentalmente (ou rápido no rascunho): a árvore vertical de altura
e sua sombra horizontal de comprimento . A luz do Sol forma com o solo um ângulo igual a . - Definir variáveis:
-
= altura da árvore (no nosso caso ), -
= comprimento da sombra (incógnita que queremos achar), -
= ângulo de elevação do Sol (no nosso caso ).
-
- Observação: o triângulo formado é retângulo, com
sendo o cateto oposto a e sendo o cateto adjacente a .
Passo 3
Relação trigonométrica que liga
,
e
.
- Definição do seno, cosseno e tangente em um triângulo retângulo: a tangente do ângulo
é a razão entre o cateto oposto e o cateto adjacente. - Em símbolos:
- Isolando
:
Passo 4
Valor de
.
- Use um triângulo especial
: os lados estão em proporção , onde o lado oposto a vale , o lado oposto a vale e a hipotenusa vale . - Para
, o cateto oposto vale e o adjacente vale . Portanto
Passo 5
Calcular
simbolicamente e em número usando
.
- Substituindo na fórmula do Passo 3:
- Como
, então
- Usando o valor dado
,
Passo 6
Interpretação final e dica rápida.
- Resultado exato:
. - Resultado numérico com a aproximação fornecida:
. - Dica para a prova: ao ver “ângulo do Sol”, sempre pense em triângulo retângulo e relacione altura/sombra com
.