Exercício 2: Dados os pontos A=(1,1,1), B=(1,4,1) e C=(3,4,3) :
(a) Obter as distâncias d_{A B} entre A e B, d_{A C} entre A e C, e d_{B C} entre B e C;
(b) Obter a equação vetorial da reta q passando por A e B;
(c) Obter a equação paramétrica da reta s passando por B e C;
(d) Obter as distâncias d_{A s} entre A e s, e d_{C q} entre C e q.

Passo 1

O enunciado dá os pontos
A=(1,1,1),\qquad B=(1,4,1),\qquad C=(3,4,3)
e pede:
(a) as distâncias d_{AB},\,d_{AC},\,d_{BC};
(b) a equação vetorial da reta q que passa por A e B;
(c) a equação paramétrica da reta s que passa por B e C;
(d) as distâncias d_{As} (distância de A até a reta s) e d_{Cq} (distância de C até a reta q).

Passo 2

Fórmula e ideia para calcular distâncias entre dois pontos em \mathbb{R}^3.
Se P=(x_1,y_1,z_1) e Q=(x_2,y_2,z_2), a distância euclidiana entre eles é
d_{PQ}=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2+(z_2-z_1)^2}.
Aqui cada termo é a diferença na respectiva coordenada, ao quadrado, somados, e então a raiz quadrada — é a extensão direta do Teorema de Pitágoras para 3 dimensões.
Agora aplicamos a fórmula aos pares dados.
Cálculo de \,d_{AB}:
B-A=(1,4,1)-(1,1,1)=(0,3,0),
d_{AB}=\sqrt{0^2+3^2+0^2}=\sqrt{9}=3.
Cálculo de \,d_{AC}:
C-A=(3,4,3)-(1,1,1)=(2,3,2),
d_{AC}=\sqrt{2^2+3^2+2^2}=\sqrt{4+9+4}=\sqrt{17}.
Cálculo de \,d_{BC}:
C-B=(3,4,3)-(1,4,1)=(2,0,2),
d_{BC}=\sqrt{2^2+0^2+2^2}=\sqrt{4+0+4}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}.

Passo 3

Equação vetorial da reta q que passa por A e B.
Como regra: se uma reta passa por um ponto P_0 com vetor posição \vec p_0 e tem vetor diretor \vec v, sua equação vetorial é
\vec r=\vec p_0+t\vec v,\qquad t\in\mathbb{R},
onde t é o parâmetro que varre a reta. O vetor diretor é obtido subtraindo as coordenadas de dois pontos da reta.
Aqui podemos usar A como ponto e \vec v=B-A como vetor diretor:
\vec v_q=B-A=(0,3,0).
Portanto a equação vetorial de q é
\vec r=(1,1,1)+t(0,3,0),\qquad t\in\mathbb{R}.
Comentário prático: isto diz que x=1 e z=1 para todos os pontos da reta, e y varia como y=1+3t.

Passo 4

Equação paramétrica da reta s que passa por B e C.
Mesma ideia: vetor diretor \vec v_s=C-B e ponto B como ponto no(s) qual a reta passa. Calculamos
\vec v_s=C-B=(2,0,2).
A equação vetorial seria \vec r=(1,4,1)+u(2,0,2). A forma paramétrica (separa as coordenadas) fica
x=1+2u,\qquad y=4,\qquad z=1+2u,\qquad u\in\mathbb{R}.
Aqui u é o parâmetro; perceber que y é constante igual a 4 ao longo da reta s.

Passo 5

Fórmula e ideia para distância de um ponto a uma reta em \mathbb{R}^3.
Se a reta passa por um ponto P_0 e tem vetor diretor \vec v, e Q é o ponto externo cuja distância queremos, então a distância é a altura do triângulo formado por \overrightarrow{P_0Q} sobre a base \vec v. A fórmula vetorial conveniente é
d_{Q,\text{reta}}=\frac{\big\|\overrightarrow{P_0Q}\times\vec v\big\|}{\|\vec v\|},
onde \times é o produto vetorial (cross product) e \|\cdot\| é a norma euclidiana. A ideia: \|\overrightarrow{P_0Q}\times\vec v\| dá a área do paralelogramo gerado por \overrightarrow{P_0Q} e \vec v; dividindo pela base \|\vec v\| obtemos a altura, que é a distância procurada.
Lembrando como calcular produto vetorial para \vec a=(a_1,a_2,a_3) e \vec b=(b_1,b_2,b_3):
\vec a\times\vec b=(a_2b_3-a_3b_2,\;a_3b_1-a_1b_3,\;a_1b_2-a_2b_1).
E norma \|\vec w\|=\sqrt{w_1^2+w_2^2+w_3^2}.
Agora aplicamos para cada distância pedida.

Passo 6

Cálculo de d_{As} (distância de A até a reta s).
Escolho o ponto B na reta s como referência P_0 (qualquer ponto da reta serve). Então
\overrightarrow{P_0Q}=\overrightarrow{BA}=A-B=(0,-3,0), \qquad \vec v_s=(2,0,2).
Calculamos o produto vetorial:
(0,-3,0)\times(2,0,2) = \big((-3)\cdot 2-0\cdot 0,\;0\cdot 2-0\cdot 2,\;0\cdot 0-(-3)\cdot 2\big).
Isso dá
(0,-3,0)\times(2,0,2)=(-6,\,0,\,6).
Norma desse vetor:
\|(-6,0,6)\|=\sqrt{(-6)^2+0^2+6^2}=\sqrt{36+36}=\sqrt{72}=6\sqrt{2}.
Norma de \vec v_s:
\|\vec v_s\|=\sqrt{2^2+0^2+2^2}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}.
Portanto a distância é
d_{As}=\frac{6\sqrt{2}}{2\sqrt{2}}=3.

Passo 7

Cálculo de d_{Cq} (distância de C até a reta q).
Escolho o ponto A na reta q como referência P_0. Então
\overrightarrow{P_0Q}=\overrightarrow{AC}=C-A=(2,3,2), \qquad \vec v_q=(0,3,0).
Produto vetorial:
(2,3,2)\times(0,3,0)=\big(3\cdot 0-2\cdot 3,\;2\cdot 0-2\cdot 0,\;2\cdot 3-3\cdot 0\big).
Isso é
(2,3,2)\times(0,3,0)=(-6,\,0,\,6).
Norma:
\|(-6,0,6)\|=\sqrt{36+0+36}=\sqrt{72}=6\sqrt{2}.
Norma de \vec v_q:
\|\vec v_q\|=\sqrt{0^2+3^2+0^2}=3.
Logo
d_{Cq}=\frac{6\sqrt{2}}{3}=2\sqrt{2}.

Resposta

(a) d_{AB}=3,\quad d_{AC}=\sqrt{17},\quad d_{BC}=2\sqrt{2}
(b) \displaystyle \vec r=(1,1,1)+t(0,3,0),\\ t\in\mathbb{R}
(c) \displaystyle x=1+2u,\quad y=4,\quad z=1+2u,\\ u\in\mathbb{R}
(d) d_{As}=3,\quad d_{Cq}=2\sqrt{2}

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