Exercício 2: Dados os pontos A=(1,1,1), B=(1,4,1) e C=(3,4,3) :
(a) Obter as distâncias d_{A B} entre A e B, d_{A C} entre A e C, e d_{B C} entre B e C;
(b) Obter a equação vetorial da reta q passando por A e B;
(c) Obter a equação paramétrica da reta s passando por B e C;
(d) Obter as distâncias d_{A s} entre A e s, e d_{C q} entre C e q.
Passo 1
O enunciado dá os pontos
A=(1,1,1),\qquad B=(1,4,1),\qquad C=(3,4,3)
e pede:
(a) as distâncias d_{AB},\,d_{AC},\,d_{BC};
(b) a equação vetorial da reta q que passa por A e B;
(c) a equação paramétrica da reta s que passa por B e C;
(d) as distâncias d_{As} (distância de A até a reta s) e d_{Cq} (distância de C até a reta q).
Passo 2
Fórmula e ideia para calcular distâncias entre dois pontos em \mathbb{R}^3.
Se P=(x_1,y_1,z_1) e Q=(x_2,y_2,z_2), a distância euclidiana entre eles é
Aqui cada termo é a diferença na respectiva coordenada, ao quadrado, somados, e então a raiz quadrada — é a extensão direta do Teorema de Pitágoras para 3 dimensões.
Aqui u é o parâmetro; perceber que y é constante igual a 4 ao longo da reta s.
Passo 5
Fórmula e ideia para distância de um ponto a uma reta em \mathbb{R}^3.
Se a reta passa por um ponto P_0 e tem vetor diretor \vec v, e Q é o ponto externo cuja distância queremos, então a distância é a altura do triângulo formado por \overrightarrow{P_0Q} sobre a base \vec v. A fórmula vetorial conveniente é
onde \times é o produto vetorial (cross product) e \|\cdot\| é a norma euclidiana. A ideia: \|\overrightarrow{P_0Q}\times\vec v\| dá a área do paralelogramo gerado por \overrightarrow{P_0Q} e \vec v; dividindo pela base \|\vec v\| obtemos a altura, que é a distância procurada.
Lembrando como calcular produto vetorial para \vec a=(a_1,a_2,a_3) e \vec b=(b_1,b_2,b_3):