Resolva as equações trigonométricas, considerando que 0 \leq x<2 \pi :
\operatorname{tg}(2 x)=-1

Passo 1

O enunciado pede: resolver a equação trigonométrica \operatorname{tg}(2x) = -1 no intervalo 0 \le x < 2\pi.
Informações dadas:
  • Equação: \operatorname{tg}(2x) = -1.
  • Domínio a considerar: 0 \le x < 2\pi.

Passo 2

Vamos simplificar substituindo uma nova variável para entender melhor a equação. Defina \theta = 2x. Assim a equação vira \operatorname{tg}(\theta) = -1.
Conceito importante (aula rápida): a função tangente tem período \pi. Isso significa que, se \operatorname{tg}(\theta_0) = y, então todas as soluções são da forma \theta = \theta_0 + k\pi, com k inteiro. Para \operatorname{tg}(\theta) = -1, uma solução conhecida é \theta = -\tfrac{\pi}{4} (porque \operatorname{tg}(-\tfrac{\pi}{4}) = -1). Portanto a solução geral é
\theta = -\tfrac{\pi}{4} + k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}.
Observação: outra forma equivalente é \theta = \tfrac{3\pi}{4} + k\pi, pois -\tfrac{\pi}{4} + \pi = \tfrac{3\pi}{4}.

Passo 3

Voltando para x, substituímos \theta = 2x na solução geral:
2x = -\tfrac{\pi}{4} + k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}.
Agora impomos a condição de domínio em termos de 2x. Como 0 \le x < 2\pi, temos
0 \le 2x < 4\pi.
Logo precisamos dos inteiros k tais que
0 \le -\tfrac{\pi}{4} + k\pi < 4\pi.
Somando \tfrac{\pi}{4} a todas as partes:
\tfrac{\pi}{4} \le k\pi < 4\pi + \tfrac{\pi}{4} = \tfrac{17\pi}{4}.
Dividindo por \pi:
\tfrac{1}{4} \le k < \tfrac{17}{4}.
Como k é inteiro, os valores possíveis são k=1,2,3,4.

Passo 4

Para cada k encontrado calculamos x:
  • Para k=1: 2x = -\tfrac{\pi}{4} + \pi = \tfrac{3\pi}{4}. Assim x = \tfrac{3\pi}{8}.
  • Para k=2: 2x = -\tfrac{\pi}{4} + 2\pi = \tfrac{7\pi}{4}. Assim x = \tfrac{7\pi}{8}.
  • Para k=3: 2x = -\tfrac{\pi}{4} + 3\pi = \tfrac{11\pi}{4}. Assim x = \tfrac{11\pi}{8}.
  • Para k=4: 2x = -\tfrac{\pi}{4} + 4\pi = \tfrac{15\pi}{4}. Assim x = \tfrac{15\pi}{8}.
Verificação rápida (exemplo): para x=\tfrac{3\pi}{8} temos 2x=\tfrac{3\pi}{4} e \operatorname{tg}(\tfrac{3\pi}{4}) = -1, ok.

Passo 5

Resumo e comentário de ânimo: encontrámos quatro soluções no intervalo pedido. Você pode visualizar isso também pensando que, como a equação envolve 2x, o intervalo em 2x tem comprimento 4\pi e a tangente repete a cada \pi, então surgem 4 soluções distintas — tudo consistente.

Resposta

\displaystyle \frac{3\pi}{8}
\displaystyle \frac{7\pi}{8}
\displaystyle \frac{11\pi}{8}
\displaystyle \frac{15\pi}{8}

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