Resolva as equações trigonométricas, considerando que
:
Passo 1
O enunciado pede: resolver a equação trigonométrica
no intervalo
.
Informações dadas:
- Equação:
. - Domínio a considerar:
.
Passo 2
Vamos simplificar substituindo uma nova variável para entender melhor a equação. Defina
. Assim a equação vira
.
Conceito importante (aula rápida): a função tangente tem período
. Isso significa que, se
, então todas as soluções são da forma
, com
inteiro. Para
, uma solução conhecida é
(porque
). Portanto a solução geral é
Observação: outra forma equivalente é
, pois
.
Passo 3
Voltando para
, substituímos
na solução geral:
Agora impomos a condição de domínio em termos de
. Como
, temos
Logo precisamos dos inteiros
tais que
Somando
a todas as partes:
Dividindo por
:
Como
é inteiro, os valores possíveis são
.
Passo 4
Para cada
encontrado calculamos
:
- Para
: . Assim . - Para
: . Assim . - Para
: . Assim . - Para
: . Assim .
Verificação rápida (exemplo): para
temos
e
, ok.
Passo 5
Resumo e comentário de ânimo: encontrámos quatro soluções no intervalo pedido. Você pode visualizar isso também pensando que, como a equação envolve
, o intervalo em
tem comprimento
e a tangente repete a cada
, então surgem
soluções distintas — tudo consistente.