Verifique as identidades trigonométricas:
\frac{\operatorname{sec} x-\operatorname{cossec} x}{\operatorname{sec} x \operatorname{cossec} x}=\operatorname{sen} x-\cos x

Passo 1

O enunciado pede para verificar a identidade trigonométrica
\frac{\operatorname{sec} x-\operatorname{cossec} x}{\operatorname{sec} x \operatorname{cossec} x}=\operatorname{sen} x-\cos x.
Informações fornecidas/úteis que vamos usar (retiradas do enunciado):
  • A expressão à esquerda envolve \operatorname{sec} x e \operatorname{cossec} x.
  • O lado direito é \operatorname{sen} x-\cos x.
  • Não há valores numéricos dados; a tarefa é manipular simbolicamente para mostrar que os dois lados são iguais para os x em que as funções estão definidas (ou seja, onde \sin x e \cos x não são zero quando necessário).

Passo 2

Lembrar definições básicas (isto é importante para a prova; escreva-as e decore o sentido):
  • \operatorname{sec} x é a secante, que é o recíproco do cosseno:
\operatorname{sec} x=\frac{1}{\cos x}.
  • \operatorname{cossec} x (cossecante) é o recíproco do seno:
\operatorname{cossec} x=\frac{1}{\operatorname{sen} x}.
Também lembraremos regras de cálculo com frações:
  • Para subtrair duas frações com denominadores diferentes, põe-se no mesmo denominador: \dfrac{a}{b}-\dfrac{c}{d}=\dfrac{ad-cb}{bd}.
  • Dividir por uma fração é multiplicar pelo recíproco: \dfrac{A}{B/C} = A\cdot\dfrac{C}{B}.

Passo 3

Agora substituímos as definições na expressão à esquerda e fazemos as contas passo a passo.
Primeiro, calculemos o numerador \operatorname{sec} x-\operatorname{cossec} x:
\operatorname{sec} x-\operatorname{cossec} x=\frac{1}{\cos x}-\frac{1}{\operatorname{sen} x}.
Subtração de frações com denominadores \cos x e \operatorname{sen} x:
\frac{1}{\cos x}-\frac{1}{\operatorname{sen} x} =\frac{\operatorname{sen} x-\cos x}{\operatorname{sen} x\cos x}.
(Detalhe: multipliquei numerador/denominador: 1\cdot\operatorname{sen} x - 1\cdot\cos x sobre \cos x\cdot\operatorname{sen} x.)
Agora o denominador da fração original, \operatorname{sec} x\operatorname{cossec} x:
\operatorname{sec} x\operatorname{cossec} x=\frac{1}{\cos x}\cdot\frac{1}{\operatorname{sen} x}=\frac{1}{\operatorname{sen} x\cos x}.

Passo 4

Formamos a fração completa e simplificamos usando que dividir por uma fração é multiplicar pelo recíproco:
\frac{\operatorname{sec} x-\operatorname{cossec} x}{\operatorname{sec} x\operatorname{cossec} x} = \frac{\dfrac{\operatorname{sen} x-\cos x}{\operatorname{sen} x\cos x}}{\dfrac{1}{\operatorname{sen} x\cos x}} = \left(\frac{\operatorname{sen} x-\cos x}{\operatorname{sen} x\cos x}\right)\cdot\left(\operatorname{sen} x\cos x\right).
Cancela-se o fator comum \operatorname{sen} x\cos x no numerador e no denominador:
\left(\frac{\operatorname{sen} x-\cos x}{\operatorname{sen} x\cos x}\right)\cdot\left(\operatorname{sen} x\cos x\right)=\operatorname{sen} x-\cos x.
Portanto a expressão à esquerda simplifica exatamente para o lado direito indicado.

Resposta

\operatorname{sen} x-\cos x

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