Calcule o valor exato das expressões, use as fórmulas da soma ou da diferença:
\operatorname{sen} \frac{\pi}{12} \cos \frac{7 \pi}{12}-\cos \frac{\pi}{12} \operatorname{sen} \frac{7 \pi}{12}

Passo 1

O enunciado pede para calcular o valor exato da expressão abaixo, usando fórmulas de soma ou diferença:
\sin\frac{\pi}{12}\cos\frac{7\pi}{12}-\cos\frac{\pi}{12}\sin\frac{7\pi}{12}.
Informações dadas:
  • Os ângulos são \dfrac{\pi}{12} e \dfrac{7\pi}{12}.
  • Deve-se usar alguma fórmula de soma ou diferença de ângulos para obter o valor exato.

Passo 2

Lembra da identidade de diferença para o seno. Ela é muito útil e diz o seguinte:
\sin(\alpha-\beta)=\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta.
Explicando essa fórmula de forma simples: ela relaciona o seno da diferença de dois ângulos \alpha e \beta com combinações de seno e cosseno de \alpha e \beta. Aqui:
  • \alpha e \beta representam quaisquer ângulos.
  • O lado direito é exatamente a combinação do enunciado: \sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta.

Passo 3

Agora identificamos os ângulos da nossa expressão com a fórmula:
\alpha=\frac{\pi}{12},\qquad \beta=\frac{7\pi}{12}.
Portanto a expressão dada é igual a \sin(\alpha-\beta). Substituindo:
\sin\frac{\pi}{12}\cos\frac{7\pi}{12}-\cos\frac{\pi}{12}\sin\frac{7\pi}{12}=\sin\!\left(\frac{\pi}{12}-\frac{7\pi}{12}\right).

Passo 4

Calcule a diferença dos ângulos no argumento do seno:
\frac{\pi}{12}-\frac{7\pi}{12}=-\frac{6\pi}{12}=-\frac{\pi}{2}.
Logo a expressão vale \sin\!\left(-\dfrac{\pi}{2}\right).

Passo 5

Usamos duas propriedades básicas do seno:
  1. O seno é função ímpar: \sin(-x)=-\sin x.
  2. O valor conhecido: \sin\!\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=1.
Aplicando:
\sin\!\left(-\frac{\pi}{2}\right)=-\sin\!\left(\frac{\pi}{2}\right)=-1.

Resposta

-1

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