Resolva as equações usando o método de variação dos parâmetros:
y'' - 2/x y' + 2/x^2 y = x e^x
R: y = c1 x + c2 x^2 + e^x x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial usando o método de variação dos parâmetros. A equação que temos é:
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial linear de segunda ordem. Para resolver, vamos precisar encontrar as soluções da equação homogênea associada e depois uma solução particular usando o método de variação dos parâmetros.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a parte homogênea da equação, ou seja:
Isso nos ajuda a encontrar as soluções gerais da equação sem o termo não homogêneo .

Passo 3

Para encontrar as soluções da equação homogênea, vamos supor que a solução tem a forma . Substituindo na equação homogênea:
Substituindo na equação:
Resolvendo a equação característica:
Então, as soluções da parte homogênea são:

Passo 4

Agora, vamos encontrar uma solução particular para a equação completa usando o método de variação dos parâmetros. O método diz que se temos duas soluções e da homogênea, então a solução particular pode ser escrita como:
Onde e são funções que vamos determinar. Primeiro, calculamos as derivadas:
Mas para simplificar, impomos a condição:
Isso reduz a expressão de e , facilitando os cálculos. Após substituir e resolver, encontramos:
Onde é o Wronskiano das soluções homogêneas:
Calculando e :
Então, a solução particular fica:

Passo 5

Finalmente, combinamos a solução geral da homogênea com a solução particular:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:

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