Resolva o problema de valor inicial x^2 y'' - 3 x y' + 4 y = 0, y(1) = 1, y'(1) = 5 para x > 0.
R: y = x^2 + 3 x^2 ln(x)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um problema de valor inicial que envolve uma equação diferencial de segunda ordem:
Além disso, temos as condições iniciais e . Para resolver isso, vamos precisar usar métodos de equações diferenciais lineares e aplicar técnicas para resolver equações homogêneas com coeficientes variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a equação dividindo todos os termos por para facilitar:
Essa é uma equação diferencial linear homogênea com coeficientes que dependem de x.

Passo 3

Vamos tentar uma solução do tipo . Para isso, calculamos as derivadas:

Passo 4

Substituindo y, e na equação simplificada:
Simplificando os termos:
Fatorando :

Passo 5

Como , podemos igualar o coeficiente a zero:
Resolvendo a equação quadrática:
Obtemos uma raiz dupla .

Passo 6

Quando a equação característica tem raízes reais e iguais, a solução geral é:
Substituindo :

Passo 7

Agora, vamos aplicar as condições iniciais para encontrar C1 e C2. Primeiro, :

Passo 8

Agora, vamos calcular :
Aplicando :

Resposta

A solução do problema é:

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