Resolva as equações:
x^{2}-(2+i) x+(-1+7 i)=0;

Passo 1

O enunciado pede que eu encontre as soluções da equação quadrática
x^{2}-(2+i)x+(-1+7i)=0.
Informações dadas (explicitando os coeficientes):
a=1,\qquad b=-(2+i),\qquad c=-1+7i.
A tarefa é determinar todos os valores complexos x que satisfazem essa igualdade.

Passo 2

Vamos usar a fórmula quadrática (que resolve qualquer equação do tipo ax^{2}+bx+c=0). A fórmula é:
x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.
Explicando as partes:
  • a,b,c são os coeficientes da equação (aqui já os identifiquei no passo anterior);
  • \Delta=b^{2}-4ac é o discriminante; ele determina a raiz quadrada que aparece na fórmula;
  • \sqrt{\Delta} para \Delta\in\mathbb{C} tem duas possíveis raízes (opostas entre si), e isso corresponde ao \pm da fórmula, dando as duas soluções da equação.

Passo 3

Primeiro calculo b e b^{2}. Como b=-(2+i), temos
b=-2-i.
Agora
b^{2}=(-2-i)^{2}=(-2)^{2}+2(-2)(-i)+(-i)^{2}=4+4i+(-1)=3+4i.

Passo 4

Calculo 4ac e o discriminante \Delta:
4ac=4\cdot 1\cdot(-1+7i)=-4+28i.
Logo
\Delta=b^{2}-4ac=(3+4i)-(-4+28i)=3+4i+4-28i=7-24i.

Passo 5

Agora preciso de \sqrt{\Delta}=\sqrt{7-24i}\). Vou achar números reais \(u,v\) tal que \[(u+iv)^{2}=7-24i.
Expandindo:
(u+iv)^{2}=u^{2}-v^{2}+2uv\,i.
Comparando partes real e imaginária obtemos o sistema
\begin{cases} u^{2}-v^{2}=7,\\[4pt] 2uv=-24. \end{cases}
Da segunda equação vem uv=-12\]. Uma técnica prática é computar \[u^{2}+v^{2} usando
(u^{2}-v^{2})^{2}+(2uv)^{2}=(u^{2}+v^{2})^{2}.
Substituindo os valores:
7^{2}+(-24)^{2}=49+576=625,
logo
u^{2}+v^{2}=\sqrt{625}=25.
Resolvendo o sistema linear em u^{2} e v^{2}:
\begin{cases} u^{2}-v^{2}=7,\\[4pt] u^{2}+v^{2}=25, \end{cases}
somando as duas equações:
2u^{2}=32\implies u^{2}=16\implies u=\pm 4.
Se u=4\], então \(v=-12/u=-3. Se u=-4, então v=3. Portanto as duas raízes quadradas de \Delta são
\pm(4-3i),
pois (4-3i)^{2}=7-24i. Vou usar \sqrt{\Delta}=4-3i (a outra escolha corresponde ao sinal oposto no \pm da fórmula).]

Passo 6

Aplicando a fórmula quadrática. Primeiro calcule -b:
-b=-( -2-i)=2+i.
Portanto
x=\frac{2+i\pm(4-3i)}{2}.
Calculo as duas possibilidades:
Com o sinal +:
x_{1}=\frac{2+i+4-3i}{2}=\frac{6-2i}{2}=3-i.
Com o sinal -:
x_{2}=\frac{2+i-4+3i}{2}=\frac{-2+4i}{2}=-1+2i.

Passo 7

É sempre bom checar rapidamente com as relações de Viète: para uma equação monica ( a=1), a soma das raízes deve ser -b e o produto deve ser c.
Soma:
(3-i)+(-1+2i)=2+i,
que é igual a -b (pois -b=2+i). Produto:
(3-i)(-1+2i)=-3+6i+i-2i^{2}=-3+7i+2=-1+7i,
que é exatamente c. Portanto as raízes estão consistentes com os coeficientes.

Resposta

3 - i
-1 + 2i

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