Resolva as equações:
;
Passo 1
O enunciado pede que eu encontre as soluções da equação quadrática
Informações dadas (explicitando os coeficientes):
A tarefa é determinar todos os valores complexos
que satisfazem essa igualdade.
Passo 2
Vamos usar a fórmula quadrática (que resolve qualquer equação do tipo
). A fórmula é:
Explicando as partes:
-
são os coeficientes da equação (aqui já os identifiquei no passo anterior); -
é o discriminante; ele determina a raiz quadrada que aparece na fórmula; -
para tem duas possíveis raízes (opostas entre si), e isso corresponde ao da fórmula, dando as duas soluções da equação.
Passo 3
Primeiro calculo
e
. Como
, temos
Agora
Passo 4
Calculo
e o discriminante
:
Logo
Passo 5
Agora preciso de
Expandindo:
Comparando partes real e imaginária obtemos o sistema
Da segunda equação vem
usando
Substituindo os valores:
logo
Resolvendo o sistema linear em
e
:
somando as duas equações:
Se
. Se
, então
. Portanto as duas raízes quadradas de
são
pois
. Vou usar
(a outra escolha corresponde ao sinal oposto no
da fórmula).]
Passo 6
Aplicando a fórmula quadrática. Primeiro calcule
:
Portanto
Calculo as duas possibilidades:
Com o sinal
:
Com o sinal
:
Passo 7
É sempre bom checar rapidamente com as relações de Viète: para uma equação monica (
), a soma das raízes deve ser
e o produto deve ser
.
Soma:
Soma:
que é igual a
(pois
). Produto:
que é exatamente
. Portanto as raízes estão consistentes com os coeficientes.