Dados z \in \mathbb{C}, z \neq 0, e o número real positivo r, dê uma interpretação geométrica para os produtos:
z r;

Passo 1

O enunciado pede a interpretação geométrica do produto z r quando z\in\mathbb{C}, z\neq 0, e r é um número real positivo.\n
Informações dadas:
  • z é um número complexo não nulo;
  • r é real e r>0;
  • Queremos entender geometricamente o que acontece com o ponto/vetor associado a z ao multiplicá-lo por r.

Passo 2

Primeiro, lembre o que representa um número complexo como ponto/vetor no plano: se z=x+iy com x,y\in\mathbb{R}, então z corresponde ao ponto (x,y) no plano complexo (plano xy). A partir disso definimos duas quantidades importantes:
|z|=\sqrt{x^{2}+y^{2}}
que é a distância do ponto z à origem, e o argumento \arg(z)=\theta, um ângulo tal que, escrevendo em forma polar,
z = |z|\big(\cos\theta + i\sin\theta\big).
Aqui |z| é o comprimento do vetor e \theta é a direção (ângulo) desse vetor em relação ao eixo real positivo.

Passo 3

Faça a multiplicação de forma cartesiana para ver o efeito nas coordenadas: se z=x+iy e r>0 é real, então
r z = r(x+iy)= (rx) + i(ry).
Isso mostra diretamente que as coordenadas (x,y) do ponto associadas a z viram (rx,ry) no produto rz: ambas as coordenadas são multiplicadas por r.

Passo 4

Faça a mesma observação em forma polar para ver o efeito sobre módulo e argumento. Escrevendo z em polar como acima,
z = |z|(\cos\theta + i\sin\theta),
temos
r z = r|z|(\cos\theta + i\sin\theta).
Logo o novo módulo é r|z| e o argumento permanece \theta. Em símbolos:
|r z| = r\,|z|,\qquad \arg(r z)=\arg(z).

Passo 5

Agora a interpretação geométrica clara e amigável: multiplicar z por um real positivo r consiste numa dilatação (escala) do ponto/vetor z em relação à origem por um fator r. Características dessa transformação:
  • A direção (ângulo) do vetor não muda: o produto não rotaciona nem inverte o vetor, porque r>0.
  • O comprimento do vetor é multiplicado por r: se r>1 o vetor se alonga (expansão); se 0<r<1 o vetor encolhe (contração); se r=1 não há alteração.
  • Retas que passam pela origem (raízes, semi-retas) são preservadas: cada semi-reta é enviada sobre ela mesma; círculos centrados na origem passam a círculos centrados na origem com raio multiplicado por r.

Passo 6

Um exemplo para fixar: tome z=2+2i e r=\tfrac{3}{2}. Então, pelos cálculos cartesianos,
r z = \tfrac{3}{2}(2+2i)=3+3i.
Geometricamente, o ponto (2,2) vai para (3,3): a posição foi escalada em relação à origem por fator \tfrac{3}{2}, mesma direção, distância à origem multiplicada por \tfrac{3}{2}.

Passo 7

Resumo intuitivo: multiplicar por um real positivo é exatamente o mesmo que aplicar uma homotetia (dilatação) centrada na origem com razão r: estica ou encolhe o vetor sem alterar sua direção.

Resposta

Multiplicação por r>0 é uma dilatação centrada na origem por fator r: |rz|=r|z| e \arg(rz)=\arg(z).

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