Dados
, e o número real positivo
, dê uma interpretação geométrica para os produtos:
;
Passo 1
O enunciado pede a interpretação geométrica do produto
quando
,
, e
é um número real positivo.\n
Informações dadas:
Informações dadas:
-
é um número complexo não nulo; -
é real e ; - Queremos entender geometricamente o que acontece com o ponto/vetor associado a
ao multiplicá-lo por .
Passo 2
Primeiro, lembre o que representa um número complexo como ponto/vetor no plano: se
com
, então
corresponde ao ponto
no plano complexo (plano xy). A partir disso definimos duas quantidades importantes:
que é a distância do ponto
à origem, e o argumento
, um ângulo tal que, escrevendo em forma polar,
Aqui
é o comprimento do vetor e
é a direção (ângulo) desse vetor em relação ao eixo real positivo.
Passo 3
Faça a multiplicação de forma cartesiana para ver o efeito nas coordenadas: se
e
é real, então
Isso mostra diretamente que as coordenadas
do ponto associadas a
viram
no produto
: ambas as coordenadas são multiplicadas por
.
Passo 4
Faça a mesma observação em forma polar para ver o efeito sobre módulo e argumento. Escrevendo
em polar como acima,
temos
Logo o novo módulo é
e o argumento permanece
. Em símbolos:
Passo 5
Agora a interpretação geométrica clara e amigável: multiplicar
por um real positivo
consiste numa dilatação (escala) do ponto/vetor
em relação à origem por um fator
. Características dessa transformação:
- A direção (ângulo) do vetor não muda: o produto não rotaciona nem inverte o vetor, porque
. - O comprimento do vetor é multiplicado por
: se o vetor se alonga (expansão); se o vetor encolhe (contração); se não há alteração. - Retas que passam pela origem (raízes, semi-retas) são preservadas: cada semi-reta é enviada sobre ela mesma; círculos centrados na origem passam a círculos centrados na origem com raio multiplicado por
.
Passo 6
Um exemplo para fixar: tome
e
. Então, pelos cálculos cartesianos,
Geometricamente, o ponto
vai para
: a posição foi escalada em relação à origem por fator
, mesma direção, distância à origem multiplicada por
.
Passo 7
Resumo intuitivo: multiplicar por um real positivo é exatamente o mesmo que aplicar uma homotetia (dilatação) centrada na origem com razão
: estica ou encolhe o vetor sem alterar sua direção.
Resposta
Multiplicação por
é uma dilatação centrada na origem por fator
:
e
.