Resolva as equações:
;
Passo 1
O enunciado pede: resolver a equação
, isto é, encontrar todos os números complexos
tais que o quadrado de
seja
.
Informações relevantes dadas: o lado direito é o número complexo . Esperamos exatamente duas soluções (raízes quadradas de um número complexo), salvo casos degenerados.
Informações relevantes dadas: o lado direito é o número complexo
Passo 2
Vamos escrever a incógnita
na forma padrão
, com
. Esta é uma escolha simples e muito usada em provas porque transforma a equação complexa em um sistema real.
A fórmula para o quadrado de é
A fórmula para o quadrado de
Aqui
é a parte real e
é a parte imaginária (multiplicada por
). Vou explicar rapidamente por que isso é assim: ao expandir
obtemos
, pois
.
Passo 3
Igualando a parte real e a parte imaginária com
obtemos o sistema real
A justificativa: dois números complexos são iguais se, e somente se, suas partes reais são iguais e suas partes imaginárias também são iguais.]
Passo 4
Da segunda equação temos
Isto implica que
(pois se
então
). Então podemos resolver para
como
Passo 5
Substituímos
na primeira equação:
Multiplicando ambos os lados por
(permitido porque
) obtemos
Reescrevendo:
Este é um polinômio em
mas é quadrático em
. Para simplificar, faça a substituição
. Então
Passo 6
Resolvendo a quadrática em
:
Logo as soluções são
e
. Mas
não pode ser negativo, então descartamos
. Ficamos com
Passo 7
Agora voltamos a
. Para cada
temos:
- Se
, então . - Se
, então .
Portanto os candidatos são
e
.
Passo 8
Vamos checar rapidamente (sempre bom fazer isso na prova):
Ambos funcionam, então são de fato as duas soluções.
Passo 9
Comentário didático (dica de prova): outro método comum é escrever
em forma polar, calcular sua raiz quadrada usando De Moivre e obter as mesmas duas soluções. No exame escolha o método com o qual você se sente mais confortável: a técnica algébrica (usada aqui) é direta e evita cálculo de ângulos; a polar é elegante e às vezes mais rápida se você já tem prática.