Resolva as equações:
x^{2}=8+6 i;

Passo 1

O enunciado pede: resolver a equação z^{2}=8+6\,i, isto é, encontrar todos os números complexos z tais que o quadrado de z seja 8+6\,i.
Informações relevantes dadas: o lado direito é o número complexo 8+6\,i. Esperamos exatamente duas soluções (raízes quadradas de um número complexo), salvo casos degenerados.

Passo 2

Vamos escrever a incógnita z na forma padrão z=x+ i y, com x,y\in\mathbb{R}. Esta é uma escolha simples e muito usada em provas porque transforma a equação complexa em um sistema real.
A fórmula para o quadrado de z é
(x+i y)^{2}=x^{2}-y^{2}+2\,i x y.
Aqui x^{2}-y^{2} é a parte real e 2 x y é a parte imaginária (multiplicada por i). Vou explicar rapidamente por que isso é assim: ao expandir (x+i y)^{2} obtemos x^{2}+2 i x y+(i y)^{2}=x^{2}+2 i x y+i^{2}y^{2}=x^{2}-y^{2}+2 i x y, pois i^{2}=-1.

Passo 3

Igualando a parte real e a parte imaginária com 8+6\,i obtemos o sistema real
\begin{cases} x^{2}-y^{2}=8,\\[4pt] 2 x y=6. \end{cases}
A justificativa: dois números complexos são iguais se, e somente se, suas partes reais são iguais e suas partes imaginárias também são iguais.]

Passo 4

Da segunda equação temos
x y=3.
Isto implica que x\neq 0 (pois se x=0 então x y=0\neq3). Então podemos resolver para y como
y=\frac{3}{x}.

Passo 5

Substituímos y=\dfrac{3}{x} na primeira equação:
x^{2}-\left(\frac{3}{x}\right)^{2}=8.
Multiplicando ambos os lados por x^{2} (permitido porque x\neq0) obtemos
x^{4}-9=8x^{2}.
Reescrevendo:
x^{4}-8x^{2}-9=0.
Este é um polinômio em x mas é quadrático em x^{2}. Para simplificar, faça a substituição t=x^{2}. Então
t^{2}-8t-9=0.

Passo 6

Resolvendo a quadrática em t:
\Delta = (-8)^{2}-4\cdot 1\cdot(-9)=64+36=100,
t=\frac{8\pm\sqrt{100}}{2}=\frac{8\pm 10}{2}.
Logo as soluções são t=9 e t=-1. Mas t=x^{2} não pode ser negativo, então descartamos t=-1. Ficamos com
x^{2}=9 \quad\Rightarrow\quad x=\pm 3.

Passo 7

Agora voltamos a y=\dfrac{3}{x}. Para cada x temos:
  • Se x=3, então y=\dfrac{3}{3}=1.
  • Se x=-3, então y=\dfrac{3}{-3}=-1.
Portanto os candidatos são z=3+i e z=-3-i.

Passo 8

Vamos checar rapidamente (sempre bom fazer isso na prova):
(3+i)^{2}=9-1+6\,i=8+6\,i,
(-3-i)^{2}=(-3)^{2}-(-1)^{2}+2(-3)(-1)\,i=9-1+6\,i=8+6\,i.
Ambos funcionam, então são de fato as duas soluções.

Passo 9

Comentário didático (dica de prova): outro método comum é escrever 8+6\,i em forma polar, calcular sua raiz quadrada usando De Moivre e obter as mesmas duas soluções. No exame escolha o método com o qual você se sente mais confortável: a técnica algébrica (usada aqui) é direta e evita cálculo de ângulos; a polar é elegante e às vezes mais rápida se você já tem prática.

Resposta

3+i
-3-i

Exercícios relacionados