Resolva as equações:
4^{x-4}-\frac{3^{x}}{81}=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação
4^{x-4}-\frac{3^{x}}{81}=0.
Informações dadas que vamos usar:
\text{expressão: }4^{x-4}-\frac{3^{x}}{81}=0.ã
Queremos encontrar todos os valores reais de \,x, que satisfazem essa igualdade.

Passo 2

Primeiro passo algébrico: isolar as potências para comparar termos semelhantes. Somando \frac{3^{x}}{81} em ambos os lados obtemos
4^{x-4}=\frac{3^{x}}{81}.

Passo 3

Reescrever 81 como potência de 3 para simplificar a expressão do lado direito. Como 81=3^{4}, temos
\frac{3^{x}}{81}=\frac{3^{x}}{3^{4}}=3^{x-4}.
Portanto a equação fica
4^{x-4}=3^{x-4}.

Passo 4

Observação importante sobre potências: se temos duas bases positivas diferentes a e b (aqui a=4 e b=3) e
a^{y}=b^{y},
então necessariamente y=0. Explico por quê: dividindo ambos os lados por b^{y} obtemos
\left(\frac{a}{b}\right)^{y}=1.
Como \frac{a}{b}>0 e \frac{a}{b}\neq1 (pois a\neq b), a única potência real que transforma um número positivo diferente de 1 em 1 é a potência 0. Alternativamente, pode-se tomar logaritmo natural e obter y\ln\!\left(\frac{a}{b}\right)=0, o que também implica y=0 porque \ln\!\left(\frac{a}{b}\right)\neq0.

Passo 5

Aplicando essa ideia à nossa equação com y=x-4, a=4 e b=3, obtemos
x-4=0.

Passo 6

Resolver a equação x-4=0
x=4.

Passo 7

Verificação rápida (sempre vale a pena checar): substituindo x=4 na equação original,
4^{4-4}-\frac{3^{4}}{81}=4^{0}-\frac{81}{81}=1-1=0,
logo x=4 satisfaz a equação.

Resposta

x=4