Resolva as equações:
;
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação
Informações dadas:
Objetivo: encontrar todos os números complexos
que satisfazem a equação acima.
Passo 2
Vou usar a forma polar (exponencial) dos números complexos para tirar raízes com facilidade. Por quê? Porque, se um número complexo é escrito como
, a raiz quadrada tem módulo
e argumento
(até
de diferença), o que torna o processo direto e pouco trabalhoso em comparação com resolver um sistema de equações reais. Vou explicar a teoria antes de aplicar.
Passo 3
Resumo da teoria necessária (bem devagar, como se estivéssemos estudando juntos):
- Qualquer número complexo
pode ser escrito na forma polar
onde
é o módulo e
é o argumento (ângulo), obtido por
ajustando o quadrante.
- Se
, então qualquer raiz quadrada satisfaz
Daí
e as duas raízes são
ou seja, duas raízes opostas entre si.
Passo 4
Aplicando ao nosso número
:
- Calculo do módulo:
- Calculo do argumento
: o número tem parte real positiva e parte imaginária positiva , então está no primeiro quadrante e
Portanto podemos escrever
Passo 5
Usando a fórmula das raízes quadradas:
e os argumentos das raízes são
e
. Assim as duas soluções são
Passo 6
Agora convertemos para a forma
para ficar mais concreto (e porque na prova normalmente pedem assim). Precisamos de
e
. Usamos fórmulas de diferença de ângulos com
:
Passo 7
Multiplicando por
para obter as partes real e imaginária de
:
Logo a primeira raiz é
A segunda raiz é o oposto:
Passo 8
Verificação rápida (para ficar tranquilo): escreva
e
. Então
Observa-se que
e
, então
. E
Portanto
, confirmação completa.