Resolva as equações:
x^{2}=\sqrt{3}+i;

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação
x^{2}=\sqrt{3}+i.
Informações dadas:
\text{o número complexo do lado direito é }z=\sqrt{3}+i.úé
Objetivo: encontrar todos os números complexos x que satisfazem a equação acima.

Passo 2

Vou usar a forma polar (exponencial) dos números complexos para tirar raízes com facilidade. Por quê? Porque, se um número complexo é escrito como r e^{i\theta}, a raiz quadrada tem módulo \sqrt{r} e argumento \theta/2 (até \pi de diferença), o que torna o processo direto e pouco trabalhoso em comparação com resolver um sistema de equações reais. Vou explicar a teoria antes de aplicar.

Passo 3

Resumo da teoria necessária (bem devagar, como se estivéssemos estudando juntos):
  • Qualquer número complexo z=a+bi pode ser escrito na forma polar
z = r e^{i\theta},
onde r=|z|=\sqrt{a^{2}+b^{2}} é o módulo e \theta=\arg(z) é o argumento (ângulo), obtido por \theta=\arctan\!\big(\tfrac{b}{a}\big) ajustando o quadrante.
  • Se z=r e^{i\theta}, então qualquer raiz quadrada x satisfaz
x=\rho e^{i\varphi}\quad\text{com}\quad \rho^{2}=r,\quad 2\varphi=\theta+2k\pi.
Daí \rho=\sqrt{r} e as duas raízes são
x=\sqrt{r}\,e^{i(\theta/2)}\quad\text{e}\quad x=\sqrt{r}\,e^{i(\theta/2+\pi)},
ou seja, duas raízes opostas entre si.

Passo 4

Aplicando ao nosso número z=\sqrt{3}+i:
  • Calculo do módulo:
r=|z|=\sqrt{(\sqrt{3})^{2}+1^{2}}=\sqrt{3+1}=\sqrt{4}=2.
  • Calculo do argumento \theta: o número tem parte real positiva \sqrt{3} e parte imaginária positiva 1, então está no primeiro quadrante e
\theta=\arctan\!\big(\tfrac{1}{\sqrt{3}}\big)=\tfrac{\pi}{6}.
Portanto podemos escrever
\sqrt{3}+i = 2\,e^{i\pi/6}.

Passo 5

Usando a fórmula das raízes quadradas:
\sqrt{r}=\sqrt{2},
e os argumentos das raízes são \theta/2 = \pi/12 e \pi/12+\pi. Assim as duas soluções são
x=\sqrt{2}\,e^{i\pi/12}\quad\text{e}\quad x=\sqrt{2}\,e^{i( \pi/12+\pi)} = -\sqrt{2}\,e^{i\pi/12}.

Passo 6

Agora convertemos para a forma a+bi para ficar mais concreto (e porque na prova normalmente pedem assim). Precisamos de \cos(\pi/12) e \sin(\pi/12). Usamos fórmulas de diferença de ângulos com \pi/12=\pi/3-\pi/4:
\cos\!\big(\tfrac{\pi}{12}\big)=\cos\!\big(\tfrac{\pi}{3}-\tfrac{\pi}{4}\big)=\cos\tfrac{\pi}{3}\cos\tfrac{\pi}{4}+\sin\tfrac{\pi}{3}\sin\tfrac{\pi}{4} =\tfrac{1}{2}\cdot\tfrac{\sqrt{2}}{2}+\tfrac{\sqrt{3}}{2}\cdot\tfrac{\sqrt{2}}{2}=\tfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4},
\sin\!\big(\tfrac{\pi}{12}\big)=\sin\!\big(\tfrac{\pi}{3}-\tfrac{\pi}{4}\big)=\sin\tfrac{\pi}{3}\cos\tfrac{\pi}{4}-\cos\tfrac{\pi}{3}\sin\tfrac{\pi}{4} =\tfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}.

Passo 7

Multiplicando por \sqrt{2} para obter as partes real e imaginária de \sqrt{2}\,e^{i\pi/12}:
\text{Re}=\sqrt{2}\cos\!\big(\tfrac{\pi}{12}\big)=\sqrt{2}\cdot\tfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4} =\tfrac{\sqrt{12}+2}{4}=\tfrac{2\sqrt{3}+2}{4}=\tfrac{\sqrt{3}+1}{2},
\text{Im}=\sqrt{2}\sin\!\big(\tfrac{\pi}{12}\big)=\sqrt{2}\cdot\tfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4} =\tfrac{\sqrt{12}-2}{4}=\tfrac{2\sqrt{3}-2}{4}=\tfrac{\sqrt{3}-1}{2}.
Logo a primeira raiz é
x_{1}=\tfrac{\sqrt{3}+1}{2}+i\,\tfrac{\sqrt{3}-1}{2}.
A segunda raiz é o oposto:
x_{2}=-\tfrac{\sqrt{3}+1}{2}-i\,\tfrac{\sqrt{3}-1}{2}.

Passo 8

Verificação rápida (para ficar tranquilo): escreva a=\tfrac{\sqrt{3}+1}{2} e b=\tfrac{\sqrt{3}-1}{2}. Então
(a+ib)^{2}=(a^{2}-b^{2})+i(2ab).
Observa-se que a-b=1 e a+b=\sqrt{3}, então a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b)=1\cdot\sqrt{3}=\sqrt{3}. E
2ab=2\cdot\tfrac{(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)}{4}=2\cdot\tfrac{3-1}{4}=2\cdot\tfrac{2}{4}=1.
Portanto (a+ib)^{2}=\sqrt{3}+i, confirmação completa.

Resposta

\displaystyle x=\frac{\sqrt{3}+1}{2}+i\frac{\sqrt{3}-1}{2}
\displaystyle x=-\frac{\sqrt{3}+1}{2}-i\frac{\sqrt{3}-1}{2}

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