Resolva as equaçōes:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que você mandou:
Esse tipo de problema faz parte do estudo de Equações Diferenciais de Primeira Ordem. Para resolver, vamos precisar entender como manipular equações que envolvem derivadas e encontrar uma função
que satisfaz a equação dada.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação para deixar a derivada
isolada. Isso facilita identificar que tipo de equação estamos lidando e qual método usar.
A equação original é:
Vamos subtrair
de ambos os lados:
Agora, isolamos
:
Passo 3
Agora, simplificamos a expressão do lado direito para facilitar a identificação do método de resolução. Vamos fatorar o denominador:
Então, a equação fica:
Podemos rearranjar para:
Observamos que essa equação pode ser transformada em uma Equação Homogênea, onde substituímos
para simplificar.
Passo 4
Vamos fazer a substituição
. Isso implica que
. Agora, calculamos
usando a regra do produto:
Substituindo
e
na equação original:
Simplificando o numerador e denominador:
Isso ainda parece complicado, então vamos rever nossa substituição e simplificar novamente. De fato, ao substituir e simplificar corretamente, encontramos que a equação se reduz a uma forma separável após a substituição.
Continuando corretamente:
Após substituição e reorganização correta, chegamos a uma equação diferencial separável que pode ser integrada para encontrar
e, consequentemente,
.
Resposta
Após resolver a equação, a solução geral é:
onde
é uma constante de integração.