Resolva as equaçōes:
y' = e^(x - 2y)

Passo 1

Então, a gente tem aqui uma equação diferencial que precisa resolver:

Esse tipo de problema pertence ao estudo de equações diferenciais, que são equações envolvendo uma função e suas derivadas. Para resolver, vamos precisar usar técnicas de separação de variáveis, que nos permitem reorganizar a equação para integrar ambos os lados.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar separar as variáveis e . A equação está na forma:

Podemos reescrever o lado direito como um produto de funções de e :
Agora, vamos separar os termos envolvendo de um lado e os envolvendo do outro.

Passo 3

Vamos dividir ambos os lados por e multiplicar por para isolar e :

Agora, temos os termos separados, com tudo de de um lado e tudo de do outro.

Passo 4

Agora, vamos integrar ambos os lados da equação. A integral de e a integral de :

Integralizando cada lado:
Onde é a constante de integração.

Passo 5

Agora, vamos resolver para em termos de . Primeiro, multiplicamos ambos os lados por 2:

(onde é apenas uma nova constante)
Em seguida, tiramos o logaritmo natural para isolar :

Finalmente, dividimos por 2:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:

onde é a constante de integração.

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