Resolva as equaçōes:
Passo 1
Então, a gente tem aqui uma equação diferencial que precisa resolver:
Esse tipo de problema pertence ao estudo de equações diferenciais, que são equações envolvendo uma função e suas derivadas. Para resolver, vamos precisar usar técnicas de separação de variáveis, que nos permitem reorganizar a equação para integrar ambos os lados.
Passo 2
Primeiro, vamos tentar separar as variáveis
e
. A equação está na forma:
Podemos reescrever o lado direito como um produto de funções de
Agora, vamos separar os termos envolvendo
de um lado e os envolvendo
do outro.
Passo 3
Vamos dividir ambos os lados por
e multiplicar por
para isolar
e
:
Agora, temos os termos separados, com tudo de
Passo 4
Agora, vamos integrar ambos os lados da equação. A integral de
e a integral de
:
Integralizando cada lado:
Onde
é a constante de integração.
Passo 5
Agora, vamos resolver para
em termos de
. Primeiro, multiplicamos ambos os lados por 2:
(onde
Em seguida, tiramos o logaritmo natural para isolar
:
Finalmente, dividimos por 2:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde