Resolva as equações.
4 y^{\prime \prime}+36 y=\csc 3 x, \quad x \in(0, \pi / 6)

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear de segunda ordem
4\,y''+36\,y=\csc 3x,\qquad x\in(0,\pi/6).
Informações dadas e o que se pede:
  • A equação é linear, com coeficientes constantes, e termo não-homogêneo \csc 3x.
  • O domínio é x\in(0,\pi/6). (Nesse intervalo temos \sin(3x)>0, então \csc 3x e \ln(\sin 3x)) estarão bem definidos quando aparecerem.)
  • O objetivo é encontrar a solução geral y(x) da equação em todo esse intervalo.

Passo 2

Primeiro vamos dividir a equação por 4 para colocá-la em forma standard:
y''+9y=\frac{1}{4}\csc 3x.
A solução geral é a soma da solução geral da homogênea y_h e de uma solução particular y_p:
y(x)=y_h(x)+y_p(x).
Agora resolvemos a homogênea associada:
y''+9y=0.
Montamos a equação característica: se tentarmos y=e^{rx}, obtemos
r^2+9=0,
cuja solução é r=\pm 3i. Isso significa combinações de cosseno e seno com frequência 3. Portanto a solução geral da homogênea é
y_h(x)=C_1\cos 3x + C_2\sin 3x,
onde C_1 e C_2 são constantes arbitrárias. Aqui eu explico o porquê: raízes puramente imaginárias \pm \mathrm{i}\omega geram soluções \cos(\omega x) e \sin(\omega x).

Passo 3

Para achar uma solução particular y_p do problema não-homogêneo
y''+9y=\frac{1}{4}\csc 3x
vamos usar o método de variação de parâmetros. Ideia básica (explicação didática): procuramos uma solução da forma
y_p(x)=u_1(x)\,y_1(x)+u_2(x)\,y_2(x),
onde y_1(x)=\cos 3x e y_2(x)=\sin 3x são as soluções fundamentais da homogênea, e u_1,u_2 são funções desconhecidas que determinaremos impondo um sistema simples.
No método temos as fórmulas (para a equação y''+9y=g(x)):
u_1' = -\frac{g(x)\,y_2(x)}{W(x)},\qquad u_2' = \frac{g(x)\,y_1(x)}{W(x)},
onde W(x) é o Wronskiano W=y_1 y_2' - y_1' y_2. Aqui g(x)=\dfrac{1}{4}\csc 3x.
Calculamos o Wronskiano passo a passo:
y_1(x)=\cos 3x,\quad y_1'(x)=-3\sin 3x,
y_2(x)=\sin 3x,\quad y_2'(x)=3\cos 3x.
Logo
W(x)=y_1 y_2' - y_1' y_2 = \cos 3x \cdot 3\cos 3x -(-3\sin 3x)\cdot\sin 3x.
Agrupando:
W(x)=3(\cos^2 3x + \sin^2 3x)=3.
Perceba que deu constante 3 porque \cos^2+\sin^2=1. Isso simplifica bastante os cálculos.

Passo 4

Agora usamos as fórmulas de variação de parâmetros com g(x)=\dfrac{1}{4}\csc 3x e W=3:
u_1' = -\frac{g\,y_2}{W} = -\frac{1}{4}\cdot\frac{\csc 3x\cdot\sin 3x}{3}.
Como \csc 3x=\dfrac{1}{\sin 3x}, temos \csc 3x\cdot\sin 3x =1. Portanto
u_1' = -\frac{1}{12}.
Integrando, escolhemos a primitiva sem constante (constante seria absorvida em C_1,C_2 de y_h):
u_1(x) = -\frac{x}{12}.
Para u_2':
u_2' = \frac{g\,y_1}{W} = \frac{1}{4}\cdot\frac{\csc 3x\cdot\cos 3x}{3}=\frac{1}{12}\cot 3x,
porque \cot 3x=\dfrac{\cos 3x}{\sin 3x}.
Agora integramos u_2'. Lembremos a integral básica:
\int \cot (a x)\,dx = \frac{1}{a}\ln\big(\sin (a x)\big) + \text{constante}.
Aqui a=3. Então
u_2(x)=\frac{1}{12}\int \cot 3x\,dx=\frac{1}{12}\cdot\frac{1}{3}\ln\big(\sin 3x\big)=\frac{1}{36}\ln\big(\sin 3x\big).
Novamente desprezamos a constante de integração por ser absorvível na solução homogênea. Note que essa primitiva é válida no intervalo dado porque em (0,\pi/6) temos 0<3x<\pi/2 e, portanto, \sin 3x>0, permitindo \ln(\sin 3x) sem problemas.

Passo 5

Agora construímos a solução particular:
y_p(x)=u_1(x)\,y_1(x)+u_2(x)\,y_2(x).
Substituindo:
y_p(x) = \left(-\frac{x}{12}\right)\cos 3x + \left(\frac{1}{36}\ln(\sin 3x)\right)\sin 3x.
Podemos deixar assim; é uma expressão clara e explícita.

Passo 6

A solução geral da equação é a soma y=y_h+y_p. Portanto:
y(x)=C_1\cos 3x + C_2\sin 3x -\frac{x}{12}\cos 3x + \frac{1}{36}\sin 3x\ln(\sin 3x),
onde C_1 e C_2 são constantes arbitrárias. Esse resultado é válido para x\in(0,\pi/6), garantindo que \sin 3x>0 e a função logaritmo esteja bem definida real.

Resposta

y(x)=C_1\cos 3x + C_2\sin 3x -\frac{x}{12}\cos 3x + \frac{1}{36}\sin 3x\ln\big(\sin 3x\big)

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