Resolva as equações.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear de segunda ordem
Informações dadas e o que se pede:
- A equação é linear, com coeficientes constantes, e termo não-homogêneo
. - O domínio é
. (Nesse intervalo temos , então e estarão bem definidos quando aparecerem.) - O objetivo é encontrar a solução geral
da equação em todo esse intervalo.
Passo 2
Primeiro vamos dividir a equação por
para colocá-la em forma standard:
A solução geral é a soma da solução geral da homogênea
e de uma solução particular
:
Agora resolvemos a homogênea associada:
Montamos a equação característica: se tentarmos
, obtemos
cuja solução é
. Isso significa combinações de cosseno e seno com frequência
. Portanto a solução geral da homogênea é
onde
e
são constantes arbitrárias. Aqui eu explico o porquê: raízes puramente imaginárias
geram soluções
e
.
Passo 3
Para achar uma solução particular
do problema não-homogêneo
vamos usar o método de variação de parâmetros. Ideia básica (explicação didática): procuramos uma solução da forma
onde
e
são as soluções fundamentais da homogênea, e
são funções desconhecidas que determinaremos impondo um sistema simples.
No método temos as fórmulas (para a equação
):
onde
é o Wronskiano
. Aqui
.
Calculamos o Wronskiano passo a passo:
Logo
Agrupando:
Perceba que deu constante
porque
. Isso simplifica bastante os cálculos.
Passo 4
Agora usamos as fórmulas de variação de parâmetros com
e
:
Como
, temos
. Portanto
Integrando, escolhemos a primitiva sem constante (constante seria absorvida em
de
):
Para
:
porque
.
Agora integramos
. Lembremos a integral básica:
Aqui
. Então
Novamente desprezamos a constante de integração por ser absorvível na solução homogênea. Note que essa primitiva é válida no intervalo dado porque em
temos
e, portanto,
, permitindo
sem problemas.
Passo 5
Agora construímos a solução particular:
Substituindo:
Podemos deixar assim; é uma expressão clara e explícita.
Passo 6
A solução geral da equação é a soma
. Portanto:
onde
e
são constantes arbitrárias. Esse resultado é válido para
, garantindo que
e a função logaritmo esteja bem definida real.