Primeiro passo prático: encontrar a solução geral da equação homogênea associada (ou seja, retirar o lado direito). A homogênea é
y''-y=0.
Para resolvê-la usamos a equação característica: coloque y=e^{rx} e obtemos
r^2-1=0.
As raízes são r=1 e r=-1. Logo uma base de soluções da homogênea é
y_1(x)=e^{x},\qquad y_2(x)=e^{-x},
e a solução geral da homogênea é
y_h(x)=C_{1}e^{x}+C_{2}e^{-x},
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias.
Passo 3
Agora precisamos de uma solução particular y_p da equação completa. O termo não-homogêneo é \dfrac{1}{x}, que não é polinomial, exponencial simples nem trigonométrico, então o método dos coeficientes indeterminados não funciona. Usamos, então, variação de parâmetros.
Idea (variação de parâmetros) — enunciado prático: procuramos
y_p(x)=u_1(x)y_1(x)+u_2(x)y_2(x),
onde u_1,u_2 são funções a determinar. Impomos as condições auxiliares
u_1'(x)y_1(x)+u_2'(x)y_2(x)=0
e
u_1'(x)y_1'(x)+u_2'(x)y_2'(x)=\frac{1}{x}.
Dessas duas equações resolvemos para u_1' e u_2' usando o wronskiano W.
Passo 4
Calcular o wronskiano das soluções fundamentais y_1,y_2:
Integramos u_1' e u_2'. Temos integrais do tipo \int \dfrac{e^{\pm x}}{x}\,dx, que não são expressáveis por funções elementares simples; surgem as funções especiais chamadas integrais exponenciais.
Definição útil: a função exponencial integral \operatorname{Ei}(z) satisfaz
válida para x>0. (Os C_{1},C_{2} absorvem quaisquer constantes de integração deixadas ao integrar.)
Passo 8
Resumo rápido e incentivo: chegamos à solução geral usando variação de parâmetros porque o termo \tfrac{1}{x} obriga a aparecer a integral exponencial \operatorname{Ei}. Não se assuste com \operatorname{Ei}: é uma função padrão, aparece sempre nesses integráveis e é aceitável deixá-la explícita numa prova. Você pode apontar a solução acima diretamente se a prova permitir funções especiais.