Resolva as equações.
y^{\prime \prime}-y=1 / x, \quad x>0

Passo 1

Enunciado: Resolver a equação diferencial
y''-y=\frac{1}{x},\qquad x>0.
O que é pedido: encontrar a solução geral y(x) válida para x>0.
Informações dadas:
\text{Equação diferencial: }y''-y=\frac{1}{x},\qquad\text{domínio: }x>0.çãí

Passo 2

Primeiro passo prático: encontrar a solução geral da equação homogênea associada (ou seja, retirar o lado direito). A homogênea é
y''-y=0.
Para resolvê-la usamos a equação característica: coloque y=e^{rx} e obtemos
r^2-1=0.
As raízes são r=1 e r=-1. Logo uma base de soluções da homogênea é
y_1(x)=e^{x},\qquad y_2(x)=e^{-x},
e a solução geral da homogênea é
y_h(x)=C_{1}e^{x}+C_{2}e^{-x},
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias.

Passo 3

Agora precisamos de uma solução particular y_p da equação completa. O termo não-homogêneo é \dfrac{1}{x}, que não é polinomial, exponencial simples nem trigonométrico, então o método dos coeficientes indeterminados não funciona. Usamos, então, variação de parâmetros.
Idea (variação de parâmetros) — enunciado prático: procuramos
y_p(x)=u_1(x)y_1(x)+u_2(x)y_2(x),
onde u_1,u_2 são funções a determinar. Impomos as condições auxiliares
u_1'(x)y_1(x)+u_2'(x)y_2(x)=0
e
u_1'(x)y_1'(x)+u_2'(x)y_2'(x)=\frac{1}{x}.
Dessas duas equações resolvemos para u_1' e u_2' usando o wronskiano W.

Passo 4

Calcular o wronskiano das soluções fundamentais y_1,y_2:
W(x)=\begin{vmatrix} y_1 & y_2 \\\ y_1' & y_2' \end{vmatrix} = y_1 y_2' - y_1' y_2.
Como y_1=e^{x} e y_2=e^{-x} temos y_1'=e^{x} e y_2'=-e^{-x}. Portanto
W(x)=e^{x}(-e^{-x})-e^{x}e^{-x}=-1-1=-2.
O wronskiano é constante W=-2 (isso simplifica contas).
As fórmulas padrão de variação de parâmetros dão
u_1'(x)=-\frac{g(x)\,y_2(x)}{W(x)},\qquad u_2'(x)=\frac{g(x)\,y_1(x)}{W(x)},
onde g(x) é o termo não-homogêneo (aqui g(x)=\dfrac{1}{x}). Substituindo:
u_1'(x)=-\frac{\frac{1}{x}\,e^{-x}}{-2}=\frac{1}{2x}e^{-x},
u_2'(x)=\frac{\frac{1}{x}\,e^{x}}{-2}=-\frac{1}{2x}e^{x}.

Passo 5

Integramos u_1' e u_2'. Temos integrais do tipo \int \dfrac{e^{\pm x}}{x}\,dx, que não são expressáveis por funções elementares simples; surgem as funções especiais chamadas integrais exponenciais.
Definição útil: a função exponencial integral \operatorname{Ei}(z) satisfaz
\frac{d}{dz}\operatorname{Ei}(z)=\frac{e^{z}}{z}.
Assim
\int \frac{e^{x}}{x}\,dx=\operatorname{Ei}(x)+\text{const}
e, fazendo a substituição t=-x,
\int \frac{e^{-x}}{x}\,dx=\operatorname{Ei}(-x)+\text{const}.
(Para x>0 também é comum usar E_{1}(x)=\int_{x}^{\infty}\frac{e^{-t}}{t}\,dt e usar a relação \operatorname{Ei}(-x)=-E_{1}(x).)
Escolhendo constantes de integração zero (essas constantes seriam absorvíveis na solução homogênea), obtemos
u_1(x)=\frac{1}{2}\operatorname{Ei}(-x), \qquad u_2(x)=-\frac{1}{2}\operatorname{Ei}(x).

Passo 6

Montamos a solução particular y_p=u_1y_1+u_2y_2:
y_p(x)=\frac{1}{2}\operatorname{Ei}(-x)\,e^{x}-\frac{1}{2}\operatorname{Ei}(x)\,e^{-x}.
Podemos, se quisermos, usar a relação \operatorname{Ei}(-x)=-E_{1}(x) para escrever
y_p(x)=-\frac{1}{2}e^{x}E_{1}(x)-\frac{1}{2}e^{-x}\operatorname{Ei}(x).
Ambas as formas são equivalentes para x>0.

Passo 7

A solução geral da equação completa é a soma da homogênea com a particular:
y(x)=C_{1}e^{x}+C_{2}e^{-x}+\frac{1}{2}e^{x}\operatorname{Ei}(-x)-\frac{1}{2}e^{-x}\operatorname{Ei}(x),
válida para x>0. (Os C_{1},C_{2} absorvem quaisquer constantes de integração deixadas ao integrar.)

Passo 8

Resumo rápido e incentivo: chegamos à solução geral usando variação de parâmetros porque o termo \tfrac{1}{x} obriga a aparecer a integral exponencial \operatorname{Ei}. Não se assuste com \operatorname{Ei}: é uma função padrão, aparece sempre nesses integráveis e é aceitável deixá-la explícita numa prova. Você pode apontar a solução acima diretamente se a prova permitir funções especiais.

Resposta

y(x)=C_{1}e^{x}+C_{2}e^{-x}+\frac{1}{2}e^{x}\operatorname{Ei}(-x)-\frac{1}{2}e^{-x}\operatorname{Ei}(x),\qquad x>0.

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