Encontre a solução geral da EDO linear homogênea.
Passo 1
O enunciado pede a solução geral da equação diferencial ordinária linear homogênea de terceira ordem
Informações dadas:
Objetivo concreto: encontrar a expressão geral de
que satisfaça a equação para todo
.
Passo 2
Motivação do método (sem resolver ainda): para EDOs lineares com coeficientes constantes é muito útil testar soluções da forma
onde
é um número (possivelmente complexo). Por quê? Porque derivar
só multiplica por
:
,
, etc. Assim, ao substituir numa equação linear homogênea, podemos retirar o fator
(que nunca é zero) e ficar com uma equação algébrica para
. Essa equação é chamada equação característica.
Passo 3
Aplicando a tentativa
, calculemos as derivadas:
Substituindo na EDO
obtemos
Como
para todo
, podemos dividir por
e obter a equação característica:
Passo 4
Resolvendo a equação característica
. Podemos usar a fatoração de diferença de cubos:
Portanto as raízes de
vêm de
e de
.
Passo 5
Resolva cada fator:
-
De
segue . -
Resolva
. Use a fórmula de Bhaskara (fórmula quadrática). Para uma equação , as raízes são
Aqui
,
,
. Então
Assim as duas raízes complexas conjugadas são
Passo 6
Interpretação das raízes e construção das soluções reais:
- Da raiz real
obtemos a solução exponencial real
- Para as raízes complexas conjugadas
(aqui e ), as soluções complexas são e . Como a equação tem coeficientes reais, as partes real e imaginária dessas soluções são soluções reais independentes. Usando a identidade de Euler
extraímos duas soluções reais independentes:
Substituindo os valores de
e
temos
Passo 7
Como a EDO é de terceira ordem, a solução geral é uma combinação linear das três soluções independentes
com constantes arbitrárias reais
. Portanto a solução geral é
onde
.