Encontre a solução geral da EDO linear homogênea.
y^{\prime \prime \prime}-y=0

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial ordinária linear homogênea de terceira ordem
y''' - y = 0.
Informações dadas:
\text{(i)}\; \text{É uma EDO linear homogênea com coeficientes constantes.}Éê
\text{(ii)}\; \text{A incógnita é }y(x)\text{ e a derivada de ordem três aparece.}óéê
Objetivo concreto: encontrar a expressão geral de y(x) que satisfaça a equação para todo x.

Passo 2

Motivação do método (sem resolver ainda): para EDOs lineares com coeficientes constantes é muito útil testar soluções da forma
y(x)=e^{rx},
onde r é um número (possivelmente complexo). Por quê? Porque derivar e^{rx} só multiplica por r: \tfrac{d}{dx}e^{rx}=r e^{rx}, \tfrac{d^2}{dx^2}e^{rx}=r^2 e^{rx}, etc. Assim, ao substituir numa equação linear homogênea, podemos retirar o fator e^{rx} (que nunca é zero) e ficar com uma equação algébrica para r. Essa equação é chamada equação característica.

Passo 3

Aplicando a tentativa y=e^{rx}, calculemos as derivadas:
y'=r e^{rx},\qquad y''=r^2 e^{rx},\qquad y'''=r^3 e^{rx}.
Substituindo na EDO \;y'''-y=0\; obtemos
r^3 e^{rx} - e^{rx} = 0.
Como e^{rx}\neq 0 para todo x, podemos dividir por e^{rx} e obter a equação característica:
r^3 - 1 = 0.

Passo 4

Resolvendo a equação característica \;r^3-1=0\;. Podemos usar a fatoração de diferença de cubos:
r^3-1=(r-1)(r^2+r+1).
Portanto as raízes de r^3-1 vêm de r-1=0 e de r^2+r+1=0.

Passo 5

Resolva cada fator:
  1. De r-1=0 segue r=1.
  2. Resolva r^2 + r + 1 = 0. Use a fórmula de Bhaskara (fórmula quadrática). Para uma equação ar^2+br+c=0, as raízes são
r=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}.
Aqui a=1, b=1, c=1. Então
r=\frac{-1\pm\sqrt{1-4}}{2}=\frac{-1\pm\sqrt{-3}}{2}=\frac{-1\pm i\sqrt{3}}{2}.
Assim as duas raízes complexas conjugadas são
r_{2}=\frac{-1}{2}+\frac{i\sqrt{3}}{2},\qquad r_{3}=\frac{-1}{2}-\frac{i\sqrt{3}}{2}.

Passo 6

Interpretação das raízes e construção das soluções reais:
  • Da raiz real r=1 obtemos a solução exponencial real
y_1(x)=e^{x}.
  • Para as raízes complexas conjugadas r=\alpha\pm i\beta (aqui \alpha=-\tfrac{1}{2} e \beta=\tfrac{\sqrt{3}}{2}), as soluções complexas são e^{(\alpha+i\beta)x} e e^{(\alpha-i\beta)x}. Como a equação tem coeficientes reais, as partes real e imaginária dessas soluções são soluções reais independentes. Usando a identidade de Euler
e^{(\alpha+i\beta)x}=e^{\alpha x}\big(\cos(\beta x)+i\sin(\beta x)\big),
extraímos duas soluções reais independentes:
y_2(x)=e^{\alpha x}\cos(\beta x),\qquad y_3(x)=e^{\alpha x}\sin(\beta x).
Substituindo os valores de \alpha e \beta temos
y_2(x)=e^{-x/2}\cos\!\Big(\tfrac{\sqrt{3}}{2}x\Big),\qquad y_3(x)=e^{-x/2}\sin\!\Big(\tfrac{\sqrt{3}}{2}x\Big).

Passo 7

Como a EDO é de terceira ordem, a solução geral é uma combinação linear das três soluções independentes y_1,y_2,y_3 com constantes arbitrárias reais C_1,C_2,C_3. Portanto a solução geral é
y(x)=C_1 e^{x} + e^{-x/2}\Big(C_2\cos\!\big(\tfrac{\sqrt{3}}{2}x\big)+C_3\sin\!\big(\tfrac{\sqrt{3}}{2}x\big)\Big),
onde C_1,C_2,C_3\in\mathbb{R}.

Resposta

y(x)=C_1 e^{x} + e^{-x/2}\Big(C_2\cos\!\big(\tfrac{\sqrt{3}}{2}x\big)+C_3\sin\!\big(\tfrac{\sqrt{3}}{2}x\big)\Big)

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