Determine a solução de cada um dos problemas de Cauchy (ou do valor inicial):
y' = x(1+y), y(0) = -1

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos que resolver o problema de Cauchy (ou valor inicial) dado pela equação diferencial:
Conteúdo da matéria: Estamos lidando com equações diferenciais ordinárias de primeira ordem, especificamente uma equação diferencial linear. Para resolver, vamos usar o método do fator integrante.
O que vamos precisar: Conhecimento sobre equações diferenciais lineares de primeira ordem e a aplicação do fator integrante para encontrar a solução.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial na forma padrão das equações lineares:
No nosso caso:
Aqui, identificamos que:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o fator integrante, que é dado por:
Substituindo :

Passo 4

Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante :
O lado esquerdo da equação agora pode ser escrito como a derivada do produto :

Passo 5

Vamos integrar ambos os lados da equação em relação a :
O lado esquerdo simplifica para:
Para o lado direito, usamos uma substituição. Seja:
Assim, a integral fica:
Portanto, temos:

Passo 6

Isolamos dividindo ambos os lados por :

Passo 7

Agora, aplicamos a condição inicial para encontrar o valor da constante :

Passo 8

Substituímos o valor de na solução geral:

Resposta

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