Resolva as equações:
y^prime=(3 x+1) cdot 1y

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que é a seguinte:
y' = (3x + 1) cdot 1y
Estamos trabalhando com equações diferenciais, especificamente uma que parece ser separável. Vamos precisar separar as variáveis $ x $ e $ y $ para integrar ambos os lados.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para deixar tudo em termos de $ y $ e $ dy $ de um lado, e $ x $ e $ dx $ do outro. A equação está assim:
y
Multiplicando ambos os lados por $ y $ e $ dx $ para separar as variáveis:
dy

Passo 3

Agora, temos as variáveis separadas:
y , dy = (3x + 1) , dx
Isso significa que podemos integrar ambos os lados individualmente.

Passo 4

Vamos integrar cada lado:
Integral do lado esquerdo:
integral y , dy = y^22 + C1
Integral do lado direito:
integral (3x + 1) , dx = 3x^22 + x + C2

Passo 5

Juntando as integrais:
y^22 = 3x^22 + x + C
Onde $ C = C_2 - C_1 $ é a constante de integração geral.

Passo 6

Multiplicando ambos os lados por 2 para simplificar:
y^2 = 3x^2 + 2x + C

Passo 7

Se quisermos expressar $ y $ em função de $ x $, tiramos a raiz quadrada:
y

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y = raiz3x^2 + 2x + C

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