Calcule o comprimento do arco da curva , dada na forma paramétrica.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o comprimento do arco de uma curva dada de forma paramétrica. A curva é definida por $ x = 3t^{2} $ e $ y = 2t^{3} $, onde $ t $ varia de 0 a 2. Para isso, vamos usar a fórmula do comprimento de arco para curvas paramétricas.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar qual é a fórmula para o comprimento do arco $ S $ de uma curva paramétrica $ (x(t), y(t)) $ no intervalo $ t \in [a, b] $. A fórmula é:
S

Passo 3

Vamos começar calculando as derivadas de $ x $ e $ y $ em relação a $ t $.
Dado $ x = 3t^{2} $, a derivada de $ x $ em relação a $ t $ é:
x
E dado $ y = 2t^{3} $, a derivada de $ y $ em relação a $ t $ é:
y

Passo 4

Agora, vamos substituir essas derivadas na fórmula do comprimento de arco:
S = integral0^2 raiz(6t)^2 + (6t^2)^2 , dt

Passo 5

Vamos simplificar dentro da raiz:
(6t)^2 = 36t^2
(6t^2)^2 = 36t^4
Portanto,
S = integral0^2 raiz36t^2 + 36t^4 , dt

Passo 6

Fatorando 36 dentro da raiz:
S = integral0^2 raiz36(t^2 + t^4) , dt = integral0^2 6raizt^2 + t^4 , dt

Passo 7

Podemos simplificar mais a expressão dentro da raiz:
t^2 + t^4 = t^2(1 + t^2) Rightarrow raizt^2(1 + t^2) = traiz1 + t^2
Então,
S = integral0^2 6traiz1 + t^2 , dt

Passo 8

Para resolver essa integral, vamos fazer uma substituição. Seja $ u = 1 + t^{2} $, então $ du = 2t , dt $ ou $ \frac{du}{2} = t , dt $.
Substituindo na integral:
u = 1 + t^2

Passo 9

Integrando $ u^{1/2} $:
u^1/2
Então,
integral u^1/2 , du = 23u^3/2 + C

Passo 10

Substituindo os limites de integração:
S = 2 (5^3/2 - 1^3/2) = 2 (raiz5^3 - 1) = 2 (5raiz5 - 1)

Resposta

O comprimento do arco da curva é $ 2 \left(5\sqrt{5} - 1\right) $ unidades.

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