Calcule o comprimento do arco da curva , dada na forma paramétrica.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o comprimento do arco de uma curva dada de forma paramétrica. A curva é definida por $ x = 3t^{2} $ e $ y = 2t^{3} $, onde $ t $ varia de 0 a 2. Para isso, vamos usar a fórmula do comprimento de arco para curvas paramétricas.
Passo 2
Primeiro, precisamos lembrar qual é a fórmula para o comprimento do arco $ S $ de uma curva paramétrica $ (x(t), y(t)) $ no intervalo $ t \in [a, b] $. A fórmula é:
Passo 3
Vamos começar calculando as derivadas de $ x $ e $ y $ em relação a $ t $.
Dado $ x = 3t^{2} $, a derivada de $ x $ em relação a $ t $ é:
E dado $ y = 2t^{3} $, a derivada de $ y $ em relação a $ t $ é:
Passo 4
Agora, vamos substituir essas derivadas na fórmula do comprimento de arco:
Passo 5
Vamos simplificar dentro da raiz:
Portanto,
Passo 6
Fatorando 36 dentro da raiz:
Passo 7
Podemos simplificar mais a expressão dentro da raiz:
Então,
Passo 8
Para resolver essa integral, vamos fazer uma substituição. Seja $ u = 1 + t^{2} $, então $ du = 2t , dt $ ou $ \frac{du}{2} = t , dt $.
Substituindo na integral:
Passo 9
Integrando $ u^{1/2} $:
Então,
Passo 10
Substituindo os limites de integração:
Resposta
O comprimento do arco da curva é $ 2 \left(5\sqrt{5} - 1\right) $ unidades.